Himpunan merupakan salah satu materi yang ada di pelajaran Matematika. Biasanya, siswa mulai mempelajarinya pada jenjang SMP (Sekolah Menengah Pertama). Selain mengetahui definisi himpunan, artikel ini juga membahas mengenai cara menyatakan himpunan, jenis-jenis, dan contoh soal.
Daftar ISI
Definisi Himpunan
Himpunan sebenarnya merupakan istilah yang sangat erat kaitannya dengan kehidupan sehari-hari. Secara teori, definisi himpunan yaitu kumpulan objek yang memiliki definisi jelas, berupa satu kesatuan, dan mudah untuk membedakannya.
Lebih gampangnya, himpunan merupakan objek-objek yang mampu didefinisikan dengan baik (well defined). Jika ada objek X, maka Anda mudah menentukan objek tersebut termasuk himpunan tertentu atau tidak.
Objek yang ada di dalam himpunan disebut dengan “unsur”, “elemen”, atau “anggota”. Sementara objek yang tidak masuk ke dalam himpunan disebut “bukan himpunan”.
Selain itu, setiap objek yang masuk ke dalam sebuah himpunan harus memiliki sifat khusus yang sama. Pada penerapannya, Anda bisa mengenali himpunan dengan istilah-istilah seperti “sekelompok”, “sekawanan”, “sekumpulan”, dan lain sebagainya.
Pada intinya, definisi himpunan menjadi dasar bagi teori bilangan, yang merupakan salah satu cabang matematika yang penting. Teori bilangan membahas sifat-sifat angka, seperti bilangan prima, faktorisasi, dan banyak lainnya yang mana sering dikaitkan dengan himpunan angka.
Himpunan memungkinkan Anda untuk mengelompokkan objek-objek atau elemen-elemen berdasarkan karakteristik yang serupa. Ini membantu dalam mengorganisir informasi dan membuatnya lebih mudah untuk Anda pahami.
Contoh Himpunan dan Bukan Himpunan
Supaya definisi himpunan di atas lebih mudah Anda pahami, berikut ini contoh dari himpunan dan bukan himpunan:
1. Contoh Himpunan
“Kumpulan binatang bersayap” adalah himpunan. Pasalnya, Anda bisa mendefinisikan sekumpulan binatang bersayap dengan mudah. Contohnya ayam, bebek, angsa, burung, dan lain sebagainya.
Contoh lainnya adalah seperti “kumpulan huruf alfabet” yang mencakup semua huruf-huruf dalam alfabet, yaitu a, b, c, sampai z. Bahkan “kumpulan siswa kelas 10A” juga merupakan bentuk himpunan karena merujuk pada semua siswa yang berada di kelas 10A sebuah sekolah.
2. Contoh Bukan Himpunan
“Kumpulan makanan yang lezat” adalah bukan himpunan karena objek makanan yang lezat bersifat abstrak. Artinya, setiap orang memiliki pemikiran yang berbeda-beda mengenai makanan yang lezat, sehingga objek himpunan sulit untuk didefinisikan dengan baik.
Contoh lain dapat berupa “kumpulan buku teks yang tersedia di perpustakaan”. Sebab, buku-buku di perpustakaan merupakan koleksi, tetapi bukan himpunan. Namun, Anda dapat membuat himpunan buku-buku berdasarkan genre, penulis, atau subjek tertentu.
Notasi Definisi Himpunan
Notasi tanda khusus untuk sebuah himpunan adalah kurung kurawal ({}). Sementara keanggotaan sebuah himpunan menggunakan lambang “∈” yang mana artinya “anggota dari” dan “∉” yang artinya “bukan anggota dari”.
Contohnya ada himpunan A yang merupakan definisi himpunan warna pelangi. Jawaban dari himpunan A yaitu merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, ungu. Notasi dari himpunan tersebut yaitu:
Himpunan A = {merah, kuning, jingga, biru, hijau, nila, ungu}.
Sedangkan penulisan keanggotaannya yaitu Jingga ∈ A, Merah ∈ A, dan seterusnya. Jika ada warna yang tidak termasuk ke dalam himpunan, maka notasinya Hitam ∉ A.
Cara Menyatakan Definisi Himpunan
Selain mengetahui definisi himpunan dan notasinya, Anda juga perlu mengetahui cara menyatakan himpunan. Berikut ini beberapa caranya:
1. Notasi Pembentukan Himpunan
Metode notasi pembentukan himpunan atau the rule method ini menyatakan anggota himpunan dengan variabel (pengganti atau pengubah). Selanjutnya, penyebutannya akan diikuti dengan tanda garis dan dilanjutkan dengan ciri atau sifat dari anggota himpunan.
Contohnya, himpunan A = {x | x alat musik petik}. Cara membacanya yaitu “Himpunan A merupakan himpunan x sedemikian hingga x adalah alat musik petik”.
2. Tabulasi atau Mendaftar
Cara menyatakan definisi himpunan yang kedua adalah menggunakan metode tabulasi atau mendaftar (the roster method). Jika Anda menggunakan metode ini, maka Anda harus menyebutkan anggota himpunan satu per satu.
Penulisannya menggunakan kurung kurawal ({}), selanjutnya setiap anggota terpisah dengan tanda koma (,). Semua anggota himpunan harus Anda sebutkan.
Contohnya, himpunan A adalah himpunan binatang bersayap. Maka cara penulisannya yaitu A = {ayam, bebek, angsa, burung}.
3. Menyebutkan Syarat Keanggotaan
Cara terakhir adalah menggunakan metode dengan menyebutkan syarat keanggotaannya. Jika Anda menggunakan metode ini, maka Anda harus menyatakan anggota himpunan dengan deskripsi.
Contohnya, himpunan A adalah himpunan binatang bersayap. Maka Anda bisa menulisnya dengan cara A = {binatang bersayap}.
Baca Juga : Memahami Sifat-Sifat Eksponen, Fungsi, Rumus, dan Contohnya
Jenis-Jenis Himpunan
Ternyata, himpunan terdiri dari beberapa jenis. Anda juga perlu mengetahui jenis-jenis himpunan agar lebih paham mengenai definisi himpunan. Langsung saja, berikut ini jenis-jenis himpunan:
1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong merupakan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota satu pun. Notasi untuk himpunan kosong yaitu “∅” atau “{}”. Sementara {0} bukan himpunan kosong karena “0” merupakan anggota himpunan.
Contohnya:
A = {x < 1, x ∈ bilangan asli}
Maka, A = {} = ∅
2. Himpunan Berhingga
Definisi himpunan berhingga merupakan salah satu jenis himpunan yang jumlah anggotanya bisa dihitung. Biasanya, himpunan berhingga juga disebut finite set.
Contohnya:
B = {bilangan asli kurang dari 7}
Maka, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Anggotanya bisa dihitung yaitu sebanyak 6.
3. Himpunan Tak Berhingga
Berkebalikan dengan himpunan berhingga, anggota dari himpunan tak berhingga tidak dapat dihitung. Jadi, Anda tidak bisa menulis anggota himpunan secara rinci seperti himpunan berhingga.
Biasanya, penulisan himpunan tak berhingga menggunakan metode tabulasi diakhiri tanda “…” (titik tiga) yang artinya “seterusnya. Jenis himpunan ini juga dikenal dengan nama infinite set.
Contohnya:
C = {bilangan asli lebih dari 7}
Maka, C = {8, 9, 10, 11, 12, 13, …}. Cara membacanya yaitu himpunan C adalah himpunan bilangan 8, 9, 10, 11, 12, 13, dan seterusnya.
4. Himpunan Semesta
Terakhir, definisi himpunan semesta (universum) merupakan jenis himpunan yang memuat semua objek pembicaraan. Notasi untuk himpunan semesta yaitu “S”. Namun, ada juga yang melambangkannya dengan huruf “U” atau set universum.
Contohnya:
D = {1, 3, 5}
Maka, S = {bilangan ganjil}, S = {bilangan asli}, S = {bilangan cacah}.
Operasi Himpunan
Operasi himpunan memudahkan Anda dalam mengerjakan soal yang berkaitan dengan himpunan. Selain itu, Anda nantinya juga akan lebih paham mengenai definisi himpunan. Langsung saja, berikut ini macam-macam operasi himpunan:
1. Irisan
Irisan merupakan himpunan yang anggota-anggotanya ada pada dua himpunan yang disebutkan. Notasi untuk irisan dua himpunan yaitu “∩”.
Contoh:
P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 4, 6, 7}, maka P ∩ Q = {1, 7}.
2. Gabungan
Gabungan merupakan gabungan semua anggota dua himpunan yang disebutkan. Notasi untuk gabungan dua himpunan yaitu “∪”.
Contoh:
P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 4, 6, 7}, maka P ∪ Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7}.
3. Komplemen
Komplemen dari sebuah himpunan yaitu unsur-unsur pada himpunan universal kecuali anggota himpunan tersebut. Notasi komplemen himpunan A yaitu Ac.
Contoh:
A = {1, 3, 7} dan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, maka Ac = {2, 4, 5, 6}.
4. Selisih
Jika ada dua himpunan yaitu himpunan P dan Q, maka P selisih Q adalah definisi himpunan dari anggota P yang tidak memuat anggota Q. Notasi untuk menggambarkan selisih dua himpunan yaitu “–”.
Contohnya:
P = {1, 3, 7} dan Q = {1, 2, 3, 5, 6}, maka P – Q = {2, 5, 6}.
5. Himpunan Bagian
Sebuah himpunan P dikatakan sebagai bagian dari Q jika semua anggotanya merupakan anggota Q. Notasi untuk himpunan bagian yaitu P ∉ Q. Banyaknya anggota P yaitu n(P), sementara banyaknya himpunan bagian dari P yaitu 2n(P).
6. Himpunan Ekuivalen
Operasi himpunan yang terakhir yaitu himpunan ekuivalen. Dua buah himpunan akan ekuivalen atau sama, jika keduanya memiliki anggota yang sama.
Contoh:
P = {2, 4, 6} dan Q = {1, 4, 7}, keduanya sama-sama memiliki jumlah anggota 3. Maka, P dan Q merupakan himpunan yang ekuivalen.
Contoh Soal Definisi Himpunan dan Pembahasannya
Anda bisa semakin paham mengenai definisi himpunan apabila mengerjakan contoh-contoh soal di bawah ini:
1. Contoh Soal 1
Diketahui:
P = {x | 4 ≤ x ≤ 8, x bilangan asli}
Q = {x | 6 ≤ x ≤ 10, x bilangan cacah}
Cari anggota P gabungan Q!
Jawaban:
P = {4, 5, 6, 7, 8} dan Q = {6, 7, 8, 9, 10}
Maka, P ∪ Q = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
2. Contoh Soal 2
Diketahui:
P = {1, 2, 3, 4}
Q = {4, 5, 6, 7}
R = {4, 10, 11, 12}
Cari irisan himpunan P, Q, dan R!
Jawaban:
P ∩ Q ∩ R = {4}, jadi anggota himpunan yang ada di semua himpunan adalah jawabannya.
Belajar Definisi Himpunan Itu Mudah, Bukan?
Demikianlah pembahasan mengenai definisi himpunan beserta cara menyatakan, jenis-jenis, dan contoh soalnya. Tidak hanya dalam pelajaran matematika, konsep himpunan juga akan sering Anda temui di kehidupan sehari-hari.
Contohnya, dalam manajemen inventaris bisnis, pengelompokan barang berdasarkan karakteristik tertentu mirip dengan penggunaan himpunan. Selain itu, dalam pengolahan data dan analisis statistik, konsep himpunan berguna untuk mengklasifikasikan data berdasarkan kriteria kelompok usia atau lokasi geografis.
Mempelajari mengenai himpunan dapat menambah wawasan dan pengetahuan. Selain itu, soal-soal yang berhubungan dengan himpunan juga masih sering muncul di berbagai kesempatan. Semoga membantu!
