Sifat Logaritma Beserta Rumus dan Cara Mengerjakannya

Logaritma adalah salah satu konsep matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, mulai dari ilmu alam, ilmu kimia, antropologi, hingga keuangan. Nah, ada beberapa sifat logaritma yang perlu kamu pahami sebelum menerapkan operasi ini pada perhitungan matematika.

Artikel berikut akan membahas terkait dengan sifat-sifat yang dimiliki logaritma, rumus dasar, dan cara mengerjakannya. Namun, sebelum membahas sifat-sifatnya, alangkah lebih baik untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan logaritma terlebih dahulu. Jadi, simak dan baca artikel ini selengkapnya.

Apa Itu Logaritma?

Logaritma atau log adalah operasi matematika yang berguna untuk menyelesaikan perhitungan persamaan dengan membalikkan operasi persamaan eksponensial atau persamaan yang memiliki variabel dalam pangkat. 

Sederhananya, logaritma diartikan sebagai kebalikan dari operasi eksponen yang berguna untuk menentukan besaran pangkat pada suatu bilangan. Misalnya, jika kamu memiliki persamaan 2x = 8, maka kamu bisa menggunakan logaritma untuk menemukan nilai dari variabel x tersebut.

Sifat Logaritma

Logaritma memiliki beberapa sifat yang bisa membantu kamu dalam mengerjakan berbagai perhitungan. Berikut adalah beberapa sifat logaritma yang umum digunakan dalam memecahkan permasalahan matematis:

• ^a log c + ^a log d = ^a log cd
• ^a log c – ^a log d = ^a log c/d
• ^x log a / ^x log b = ^b log a
• ^an log c^m = m_d / n log c
• ^a log c^m = m ^a log c
• ^a log c^m = ^p log c / ^p log a
• a^{a log c} = c
• ^alog a = 1
• ^alog 1 = 0
• ^a log b . ^b log c = ^a log c
• ^a log aⁿ = n

Sifat-sifat Operasi Perhitungan Logaritma

Pada dasarnya, logaritma dapat dioperasikan layaknya bilangan bulat biasa, seperti halnya pengurangan, penjumlahan, perkalian, serta pembagian. Berikut ini adalah beberapa sifat operasi pada logaritma.

1. Sifat Logaritma Dasar

Sifat logaritma dasar menjelaskan bahwa ketika suatu bilangan berpangkat 1, maka hasilnya akan selalu sama dengan bilangan yang sebelumnya. Contohnya, jika kamu memiliki perhitungan 101, maka dapat dipastikan hasilnya adalah 10. 

2. Sifat Koefisien

Sifat koefisien merujuk pada situasi ketika terdapat suatu contoh permasalahan yang melibatkan eksponen dalam konteks logaritma. Dalam kasus ini, eksponen yang sering disebut sebagai numerus atau bilangan pangkat berfungsi sebagai koefisien yang mempengaruhi hasil dari operasi.

3. Sifat Logaritma Sebanding Terbalik

Selain dua sifat di atas, operasi ini juga memiliki sifat sebanding terbalik dengan logaritma lain. Hal ini mengacu pada hubungan antara basis (bilangan yang menjadi dasar logaritma) dan numerus (bilangan yang ingin dihitung logaritmanya). 

Contoh sederhananya adalah jika kamu membandingkan logaritma dengan basis 2 dan basis ½, maka mereka berbanding terbalik satu sama lain dalam hal nilai. Berikut adalah perhitungan dari kedua basis tersebut.

log₂(8)= 3

log_½(8)= 3

Dalam kedua kasus tersebut, hasilnya adalah log tersebut memiliki nilai yang sebanding karena basisnya adalah invers satu sama lainnya. Invers dari angka 2 adalah ½. Angka ½ adalah bilangan yang jika dikalikan dengan 2 akan menghasilkan 1. 

4. Sifat Perpangkatan

Umumnya, sifat perpangkatan memungkinkan logaritma untuk memiliki basis yang sama dengan bilangan yang dihitung log-nya. Artinya, hasil dari perhitungan tersebut akan menjadi nilai dari log itu sendiri, bukan hasil perkalian atau perpangkatan.

Ini berarti sifat logaritma akan “membatalkan” perpangkatan dengan eksponen yang sama dengan basisnya, sehingga hasilnya adalah eksponen itu sendiri dalam bentuk numerus. Contohnya, jika kamu menghitung log₅(5) maka hasilnya adalah 1 karena 5 pangkat 1 adalah 5. 

5. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat penjumlahan dan pengurangan menyatakan bahwa dua log yang mana memiliki basis yang sama dapat dijumlah atau dikurang. Hasilnya akan menjadi log dengan basis yang sama.

Selain itu, numerus dari hasil penjumlahan akan menjadi hasil perkalian dari numerus log yang pertama dan numerus log yang kedua. Sedangkan pada pengurangan, hasilnya adalah berupa pembagian dari kedua numerus tersebut.

6. Sifat Perkalian dan Pembagian

Operasi perkalian antara dua logaritma dapat disederhanakan jika basis atau numerus kedua log tersebut identik atau sama. Sedangkan untuk operasi pembagian, penyederhanaan hanya akan terjadi ketika kedua log memiliki basis yang sama.

7. Sifat Logaritma Numerus Terbalik

Sifat yang terakhir adalah numerus terbalik. Secara teori, sifat ini memungkinkan log untuk dapat memiliki nilai yang sama dengan log negatif lain yang mengacu pada numerus atau angka yang mana merupakan kebalikan dari angka pertama.

Rumus Dasar Logaritma

Setelah mengetahui sifat logaritma yang beraneka ragam, maka alangkah lebih baik jika kamu mengetahui rumus dasar dari logaritma itu sendiri. Berikut ini adalah rumus dasar yang bisa kamu pakai untuk mengerjakan soal-soal log:

a^b = c ⇔  ^a log c = b

Dalam rumus ini, a adalah basis. Basis pada log adalah angka yang mana berguna untuk mengukur eksponen yang perlu menghasilkan suatu angka tertentu. Sedangkan b adalah hasil log dan c adalah numerus yang berarti angka atau bilangan yang ingin terhitung log-nya.

Baca Juga : Limit Tak Hingga: Pengertian, Sifat, Fungsi, dan Contoh Soal

Cara Mengerjakan Logaritma

Berikut ini adalah cara mengerjakan contoh soal perhitungan. Terdapat dua contoh soal yang masing-masing memiliki salah satu sifat logaritma sendiri:

1. Hitunglah nilai dari log₄( 64)!

Dalam soal ini, kamu harus menghitung log dari basis 4 dari 64. Langkah-langkah dalam mengerjakannya adalah dengan menentukan dan menghitung bilangan log-nya (x), dan basis log (b). Kemudian hitung log tersebut menggunakan rumus.

Log akan mengukur eksponen yang perlu agar hasil dari 4 pangkat eksponen adalah 8. Dengan kata lain, kamu harus mencari x dalam persamaan 4^x=64. Maka, untuk menyelesaikan soal tersebut, kamu bisa melihat bahwa 4³=64. Sehingga, nilai dari log₄( 64) adalah 3.

2. Hitunglah nilai dari log₂( 8)+ log₂( 16)!

Langkah pertama adalah menyederhanakan setiap log lalu menjumlahkannya. Untuk menghitung log yang memiliki basis sama, kamu bisa menggunakan sifat logaritma yang menyatakan perkalian dua logaritma dengan basis sama dapat disederhanakan menjadi penjumlahan eksponen.

Sehingga rumus sederhananya adalah sebagai berikut:

log₂( 8) =  log₂( 23)  

= 3log₂ (2)

= 3  

log₂( 16)=  log₂( 24)  

=4log₂ (2)

= 4

Setelah ini, kamu bisa menjumlahkan kedua log menjadi seperti berikut ini:

log2( 8)=  log2( 16) = 3 + 4 = 7

Jadi hasil akhirnya adalah 7.  

Sudah Tahu Sifat Logaritma, Rumus, dan Cara Mengerjakannya?

Itulah penjelasan singkat terkait logaritma yang perlu kamu pahami. Pada dasarnya, memahami rumus dasar dan sifat logaritma akan membantu kamu dalam melakukan berbagai perhitungan dan menerapkannya dalam berbagai konteks matematika dan ilmu pengetahuan. Pelajari sifat-sifat dasar logaritma seperti hukum penjumlahan, pengurangan, dan pangkat. Dengan sifat logaritma, kamu dapat memecahkan masalah yang melibatkan eksponensial dengan lebih efisien.