Persamaan Kuadrat: Pengertian, Ciri, Akar, Rumus, & 6 Contoh Soal

Dalam konsep matematika, persamaan kuadrat merupakan salah satu bagian tersulit. Jika persamaannya dalam jumlah banyak, kemungkinan besar kamu akan menyerah ditengah jalan. Untuk itulah berikut pengertian, ciri hingga contoh soal yang bisa membantu kamu mengerti persamaan ini. 

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat merupakan persamaan suku banyak yang pangkat tertingginya 2. Adapun secara umum bentuk persamaan kuadrat yaitu ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0.

Sedangkan, untuk bentuk grafik dari persamaan ini biasanya berbentuk parabola yang didasarkan pada nilai koefisien dan konstanta persamaan kuadratnya. 

Nilai koefisien a menentukan tingkat kecekungan parabola yang mana, jika nilai a > 0 menunjukkan grafik parabolanya terbuka ke atas. Namun, jika nilai a < 0 maka menunjukkan grafik parabolanya terbuka ke arah bawah. 

Untuk koefisien b bisa menentukan posisi titik puncak terhadap absis atau sumbu x nya pada grafik dan sumbu simetris nya. Sedangkan, untuk konstanta c bisa menentukan titik potong grafik dengan sumbu-x dan sumbu-y. 

Ciri Persamaan Kuadrat

Berikut ini 5 ciri persamaan kuadrat yang bisa menjadi kamu jadikan pembeda dengan persamaan lainnya, yaitu:

1. Terdapat variabel tertinggi kuadrat yang memiliki pangkat.
2. Pangkat tertingginya yaitu 2.
3. Jika persamaan diproyeksikan dalam bentuk kurva, maka bisa terbentuk kurva parabola.
4. Titik puncak dari kurva parabolanya berada pada nilai yang merupakan hasil turunan dari persamaan tersebut. 
5. Terdapat beberapa jenis akar persamaan. 

Akar Persamaan Kuadrat

Akar persamaan kuadrat diartikan sebagai nilai-nilai penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat atau merupakan nilai dari variabel x para persamaannya. 

Adapun setiap persamaan akan memiliki dua kemungkinan nilai x karena sifatnya yang persamaan dengan pangkat tertinggi 2. 

Simbol yang sering digunakan untuk akar-akar persamaan ini yaitu x1 dan x2. Untuk menentukan akar-akar dari persamaan ini, bisa juga nilai diskriminannya. Adapun diskriminan bisa kamu tentukan dengan rumus D = b2 – 4ac.

Nah, jika nilai diskriminan yang kamu dapatkan > 0, maka persamaan kuadratnya mempunyai dua akar nyata. 

Namun jika nilai D = 0, maka persamaan nya memiliki dua akar sama kembar. Sedangkan jika nilai D < 0, maka persamaan kuadratnya tidak memiliki akar nyata. 

Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk lebih lengkapnya mengenai penjelasan persamaan kuadrat, berikut 3 rumus dan metode yang bisa kamu gunakan untuk dalam menentukan nilai dari akar-akar persamaan ini.

1. Metode Pemfaktoran

Pada penentuan akar-akar persamaan dengan metode ini, hasil akhir pemfaktoran akan berbentuk a(x – x1) (x – x2) = 0. 

Adapun dari bentuk tersebut, kamu bisa mengetahui nilai dari x1 dan x2 yang merupakan akar-akar persamaannya. Lebih jelasnya, berikut ini beberapa faktorisasi akar-akar, yaitu:

• X^2 + 2xy + y^2 = 0 dengan faktorisasi akar nya (x + y)^2 = 0
• Faktorisasi akarnya (x – y)^2 = 0 untuk X^2 – 2xy + y^2 = 0
• X^2 – y^2 = 0 dengan faktorisasi akarnya (x + y) (x – y) = 0

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode selanjutnya yang bisa kamu gunakan adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurnanya.

Caranya yaitu dengan mengubah bentuk persamaannya menjadi bentuk (x + p)^2 = q. Setelah itu, kamu bisa mendapatkan persamaan (x + p) = √q dan -(x + p) = √q untuk menentukan akarnya. 

3. Metode Rumus ABC

Jika kamu ingin menentukan nilai akar persamaan kuadrat, bisa juga dengan menggunakan rumus ini. Adapun rumusnya, yaitu:

Setiap nilai huruf tersebut kita peroleh dari persamaan ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0

Baca Juga : Persamaan Garis Lurus: Pengertian, Sifat, Rumus, dan Soal

6 Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Berikut ini 6 contoh persamaan kuadrat lengkap dengan pembahasannya yang bisa membantu kamu lebih mengerti tentang persamaan ini. 

Soal 1

Bagaimana bentuk umum dari persamaan kuadrat x (x – 5) = 2x + 3 ?

Jawaban:

• Diketahui:

Persamaan kuadrat adalah x (x – 5) = 2x + 3

• Ditanyakan:

Bentuk umum persamaan = ….?

• Pembahasan:

Pada dasarnya, bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu ax² + bx + c = 0. Sehingga persamaan pada soal tersebut harus kamu arahkan dalam bentuk umumnya dengan cara berikut:

x (x – 5) = 2x + 3

X^2 – 5x = 2x + 3

x^2 – 5x –2x – 3 = 0, dan menjadi x^2 – 7x – 3 = 0

Jadi, bentuk umum dari persamaan x (x – 4) = 2x + 3 yaitu x² – 7x – 3 = 0. 

Soal 2

Perhatikan persamaan kuadrat berikut:

X^2 + 4x – 32 = 0

Jika x1 adalah bilangan positif dan X2 adalah bilangan negatif, maka berapakah nilai dari 2 X1 + X2 ?

Jawaban:

• Diketahui:

Persamaan : x^2 + 4x – 32 = 0

X1 : bilangan positif

X2 : bilangan negatif

• Ditanyakan:

Berapakah nilai dari 2 X1 + X2?

• Pembahasan:

Pertama, kamu harus memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut sebagai berikut. 

x2 + 4x – 32 = 0

(x + 8) (x – 4)=0

x = -8 atau x = 4

Karena X1 adalah bilangan positif, maka nilainya adalah 4, sedangkan untuk X2 yang mana adalah bilangan negatif maka nilainya adalah -8. 

Setelah mendapatkan nilai tersebut, selanjutnya yaitu memasukkannya pada persamaan 2 X1 + X2. Hasilnya yaitu:

2 X1 + X2 = 2 (4 ) + (-8) = 8 -8 = 0

Jadi, nilai 2 X1 + X2 adalah 0.

Soal 3

Andi memiliki selembar kertas dengan panjang (x + 4) cm. Sedangkan lebar dari kertas tersebut adalah (x – 2) cm. Jika luas kertas tersebut adalah 40 cm^2, berapakah nilai dari x?

Jawaban:

• Diketahui:

Panjang kertas =  (x + 4) cm

Lebar kertas = (x – 2) cm

Luas kertas = 40 cm^2

• Ditanyakan:

Nilai x = ….?

• Pembahasan:

Buatlah persamaan dari panjang, lebar dan luas kertas tersebut terlebih dahulu dengan cara sebagai berikut:

L = p x l

40 = (x + 4)(x – 2)

40 = x² + 2x – 8

x² + 2x – 8 – 40 = 0

x² + 2x – 48 = 0 dan menjadi (x + 8) (x – 6) = 0

Maka, didapatkan nilai x = -8 atau x = 6. 

Soal 4

Sebuah bola dijatuhkan dari suatu ketinggian. Persamaan pergerakan bola tersebut saat jatuh mengikuti persamaan ketinggian sebagai berikut:

h(t) = 3x^2 – 12x – 12,

dengan nilai t (waktu) dalam sekon dan h (ketinggian) dalam meter. 

Maka berapakah waktu yang bola perlukan untuk mencapai tanah?

Jawaban:

• Diketahui: 

Persamaan : h(t) = 3x^2 – 12x – 12

• Ditanyakan: 

t = ….?

• Pembahasan:

Jika saat menyentuh tanah, ketinggian bola adalah 0 atau h(t) = 0, maka persamaannya menjadi:

Ketinggian bola saat menyentuh tanah yaitu 0 atau h(t) = 0. Dengan demikian

h(t) = 3x^2 – 12x – 12

3x^2  – 12x – 12 = 0

x^2 – 4x – 4 = 0

(x – 2)(x – 2) = 0

x₁ = x₂ = 2

Maka, waktu yang bola tersebut perlukan untuk menyentuh tanah adalah 2 s.

Soal 5

Berapakah nilai diskriminan dari persamaan kuadrat berikut 4x^2 – 2x + 1 = 0 ?

Jawaban:

• Diketahui:

Persamaan: 4x^2 – 2x + 1 = 0

• Ditanyakan: 

Nilai D = ….?

• Pembahasan:

Rumus D sebagai berikut.

D = b² – 4ac

Berdasarkan persamaan 4x² – 2x + 1 = 0, maka nilai a = 4, b = -2, C = 1, Sehingga penyelesaiannya menjadi seperti berikut:

D = b² – 4ac
  = (-2)² – 4(4)(1)
  = 4 – 16
 = -12

Jadi, nilai diskriminannya yaitu -12.

Soal 6

Bagaimanakah bentuk faktorisasi dari persamaan x² – 6x – 27 = 0 ?

Jawaban:

• Diketahui:

Persamaan: x^2 – 6x – 27 = 0

• Ditanyakan:

Bentuk faktorisasi = ….?

• Pembahasan:

Dalam sebuah faktorisasi, kamu harus menguraikan persamaan tersebut. Adapun untuk menguraikannya yaitu dari persamaan x² – 6x – 27 = 0 kamu bisa pilih dua angka yang jika kamu kalikan bisa menghasilkan -27. 

Selain itu, pastikan juga angka yang kamu ambil jika kamu jumlahkan bisa menghasilkan -6. Adapun angka tersebut adalah -9 dan 3, sehingga hasil faktorisasi nya menjadi seperti berikut. 

x² – 6x – 27 = 0

(x – 9)(x + 3) = 0

Maka, bentuk faktorisasi dari persamaan x² – 6x – 27 = 0 yaitu (x – 9)(x + 3) = 0

Sudah Lebih Tahu Persamaan Kuadrat dan Rumusnya? 

Persamaan kuadrat pada dasarnya memiliki ciri utama yaitu pangkat tertinggi 2. Untuk menyelesaikan persamaan ini, memang tergolong susah-susah gampang karena yang terpenting kamu mengetahui rumusnya. 

Tidak hanya itu, berlatih juga merupakan salah satu kunci dari keberhasilan kamu bisa mengerti persamaan ini. Kamu bisa mulai berlatih dengan menyelesaikan soal-soal seperti contoh di atas. Semoga membantu!