Apa Itu Titik Berat Segitiga? Pengertian, Cara Menentukan dan Contoh Soal

Tahukah kamu  bahwa segitiga memiliki 3 sisi dengan jumlah keseluruhan sudutnya yaitu 180°? Selain itu, segitijuga juga memiliki garis-garis istimewa, salah satunya adalah garis berat. Garis ini ketika ditarik dari masing-masing ketiga sudut segitiga akan menghasilkan sebuah titik yang disebut titik berat segitiga. 

Lalu bagaimana cara menentukan titik berat segitiga tersebut? Yuk, simak penjelasannya berikut ini!

Pengertian Titik Berat Segitiga

Sebelum menentukan titik berat dari segitiga, pahami dulu apa itu garis berat segitiga dan titik beratnya. Garis berat segitiga termasuk salah satu garis istimewa segitiga. Garis ini menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi yang berhadapan dan membaginya menjadi dua bagian yang sama panjang. 

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar tersebut diketahui bahwa garis AE, garis BD, dan garis CF merupakan garis berat ∆ABC, atau disebut juga dengan median segitiga. 

Sedangkan perpotongan antara ketiga median segitiga tersebut membentuk suatu titik yang dinamakan titik berat segitiga. Dalam hal ini, titik P menjadi titik berat pada ∆ABC. 

Selain itu, masing-masing garis berat tersebut memiliki perbandingan yang sama terhadap titik P. Perbandingannya adalah 2:1 dengan rincian:

• AP : PE = 2 : 1,
• BP : PD = 2 : 1,
• CP : PF = 2 : 1.

Apa saja Sifat-sifat Titik Berat Segitiga?

Titik berat pada bentuk sebuah segitiga memiliki setidaknya tiga sifat yang diuraikan secara singkat di bawah ini. 

• Titik berat pada bentuk segitiga dibentuk dengan perpotongan ketiga garis berat.
• Titik berat selalu terletak di dalam ruang segitiga.
• Titik berat sebuah segitiga membagi ketiga garis berat dengan perbandingan yang sama yaitu 2:1. 

Baca Juga : Rumus Segitiga Sama Kaki serta Contoh Soal dan Pembahasan

Lalu, Bagaimana Cara Menentukan Titik Berat Segitiga?

Titik berat dalam sebuah bentuk segitiga dapat dicari dengan menggunakan koordinat titik sudut segitiga. Misalkan suatu segitiga dengan koordinat masing-masing titik sudutnya yang sudah diketahui A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3), maka dapat dihitung dengan menggunakan rumus Titik Berat (T) berikut ini:

T (x,y) = ⅓ ( A + B + C )

T = ⅓ {( x1 + x2 + x3) , ( y1 + y2 + y3)}

Jadi, untuk menentukan nilai x =  ⅓ ( x1 + x2 + x3),

begitupun juga dengan nilai y = ⅓ ( y1 + y2 + y3).

Lalu, apabila terdapat ∆ABC yang memiliki titik koordinat masing-masing A( x1, y1, z1 ), B( x2, y2, z2), dan C(x3, y3, z3). Maka, titik berat segitiga tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

T (x,y, z) = ⅓ ( A + B + C )

T = ⅓ {( x1 + x2 + x3) , ( y1 + y2 + y3 ) , ( z1 + z2 + z3 )}

Baca Juga : Rumus Persegi Panjang: Luas, Keliling, serta Contoh Soal

Contoh Soal dan Pembahasan

Untuk membuktikan rumus diatas, kamu bisa mencoba mengerjakan contoh soal berikut dan meninjau pembahasannya.  Pengerjaan soal dengan mengikuti rumus diatas dapat membantu kamu mengukur pemahamanmu mengenai materi titik berat segitiga. Selamat mengerjakan!

Soal 1

Berapakah perbandingan antara titik berat segitiga dengan median?

a. 3:1

b. 1:2

c. 2:1

d. 2:3

Jawaban: 2:1

Soal 2

Diketahui G adalah titik berat ∆ABC dengan masing-masing koordinat titik sudut A(5,-10), B)-8,6), dan C(9,-5). Koordinat titik berat G adalah …

a. (2, -3)

b. (2, -7)

c. (-4, -3)

d. (-4, -7)

Jawaban: a. (2, -3)

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik berat segitiga, gunakan rumus T = ⅓ (A + B + C)

Dari rumus tersebut maka, cara penyelesaiannya adalah:

A (x, y) = (5,-10) 

B (x, y) = (-8,6)

C (x, y) = (9,-5)

Substitusikan ke dalam rumus:

x  = ⅓ (x1 + x2 + x3)

x  = ⅓ (5 + (-8) + 9)

x = ⅓ (6) 

x = 2

Sedangkan,

y = ⅓ (y1 + y2 + y3)

y  = ⅓ ( (-10) + 6 + (-5) )

y = ⅓ (-9)

y = -3

Jadi, koordinat titik berat G adalah (2, -3)

Soal 3

Koordinat titik berat ∆DEF dengan titik D(3,1), E(9,4), dan F(-3,1) adalah …

a. (2, -3)

b. (3, 2)

c. (-2, -2)

d. (3, -2)

Jawaban: b. (3,2)

Pembahasan

D (3,1) => x1=3 ; y1 = 1

E (9,4) => x2=9 ; y2 = 4

F (-3,1) => x3=-3 ; y3 = 1

T = (x1 + x2 + x3) / 3 ; (y1 + y2 + y3) / 3

T = (3 + 9 + (-3) ) / 3 ; (1 + 4 + 1) / 3

T = (9/3) ; (6/3)

T = (3,2)

Maka, titik berat segitiga DEF yaitu (3,2).

Perhatikan gambar di bawah ini untuk menjawab soal nomor 4 dan 5!

Soal 4

Diketahui ∆ABC sembarang dengan titik berat terletak pada T. Hitung berapa nilai AT:TD dan CT:TE …

Pembahasan

Misalkan: 

AC = b

AB = c

AT = x AD ; 0 < x < 1

ET = x EC ; 0 < y < 1

Perhatikan bahwa: AE + ET = AT

Dari pernyataan tersebut diperoleh:

½ c + y EC = x AD

½ c + y (-½ c + b) = x (c + ½ BC)

Karena

BC = b – c

Maka dari persamaan di atas dapat ditulisakan sebagai berikut:

(2y – x) b + (1 – y – x) c = 0

Kemudian dari persamaan terakhir ini diperoleh x = ⅔ dan y = ⅓.

Jadi, hasil dari nilai AT:TD = CT:TE = 2:1

Soal 5

Apabila koordinat A, B, dan C dalam ∆ABC diatas diketahui. Tentukan koordinat titik berat ∆ABC, jika

1. Koordinat A(1,5), B(-3,8) dan C(5,11)
2. Koorindat A(1,5, 0), B(-3,8, 4), dan C(5,11, 2)

Pembahasan

a. Jika titik berat ∆ABC adalah T dengan koordinat A(1,5), B(-3,8) dan C(5,11), maka:

T = ⅓ ( A + B + C)

T = ⅓ ( 1 + (-3) + 5) / ( 5 + 8 + 11 )

T = ⅓ (3/24)

T = ⅛

Jadi, hasil koordinat titik berat ∆ABC adalah (1,8)

b. Jika titik berat ∆ABC adalah T dengan titik koordinat A(1,5,0), B(-3,8,4), dan C(5,11,2), maka

T = ⅓ ( A + B + C)

T = ⅓ ( 1 + (-3) + 5 ) / ( 5 + 8 + 11) / ( 0 + 4 + 2 )

T = ⅓ ( 3 / 24 / 6 )

T = 1/8/2

Jadi, hasil dari koordinat titik berat dalam ∆ABC adalah (1,8,2)

Soal 6

Diketahui suatu segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1, -2, 3), Q (5, 1, -1), dan R(-3, -5, 4). Tentukan koordinat titik berat segitiga tersebut!

Jawaban: (1, -2, 2)

Pembahasan

Titik berat = ⅓ ( x1 + x2 + x3 ), ⅓ ( y1 + y2 + y3 ), ⅓ ( z1 + z2 + z3 )

T = ⅓ ( 1 + 5 + (-3) ) , ⅓ ( (-2) + 1 + (-5) ) , ⅓ ( 3 + (-1) + 4 )

T = ⅓ (3) , ⅓ (-6) , ⅓ (6)

T = (1, -2, 2)

Maka nilai dari titik berat ∆PQR adalah (1, -2, 2).

Soal 7

Diketahui ∆ABC memiliki titik sudut A(x, 1, 2), B(1, y, -1), dan C(3, 0, z). Jika titik berat ∆ABC adalah (1,1, -1)

1. Tentukan nilai koordinat titik sudut A, B, dan C 
2. Tentukan nilai (x + 2y + r)

Pembahasan

1. Menentukan nilai x, y, dan z

T = (1, 1, -1)

⅓ ( x1 + x2 + x3 ) , ⅓ ( y1 + y2 + y3 ) , ⅓ ( z1 + z2 + z3 ) = (1, 1, -1)

⅓ ( x + 1 + 3 ) , ⅓ ( 1 + y + 0 ) , ⅓ ( 2 + (-1) + z ) = (1, 1, -1)

⅓ ( x + 4 ) , ⅓ ( 1 + y ) , ⅓ ( 1 + z ) = (1, 1, -1)

Dari kesamaan dua buah vektor, maka diperoleh hasil

⅓ ( x + 4 ) = 1 => x + 4 = 3 => x = 3 – 4 = -1

⅓ ( 1 + y ) = 1 => 1 + y = 3 => y = 3 – 1 = 2

⅓ ( 1 + z ) = -1 => 1 + z = -3 => z = -3 – 1 = -4

Jadi koordinat masing-masing titik sudut segitiga ABC yaitu:

A(x, 1, 2) = (-1, 1, 2), 

B(1, y, -1) = (1, 2, -1),

C(3, 0, z) = (3, 0, -4).

2. Nilai dari (x + 2y + r) 

Dengan menggunakan koordinat titik sudut (x=1, y=2, dan z=-4), maka hasil dari (x + 2y + r) adalah 

x + 2y + r = (-1) + 2(2) + (-4) = -1

Materi Titik Berat Segitiga Mudah Dipelajari!

Dari keenam soal diatas, kira-kira berapa jumlah jawaban yang benar? Jika kamu masih kesulitan pada penerapan rumus titik berat segitiga, cobalah untuk latihan dengan soal-soal sebanyak mungkin agar makin dalam mengenal dan memahami rumus serta terbiasa dengan penerapannya.