Ketika mempelajari bidang studi matematika, terdapat banyak bentuk dan cabang ilmu di dalamnya. Salah satunya adalah ilmu aljabar. Sebagai salah satu bidang studi matematika, aljabar memiliki banyak sifat yang mempengaruhi, seperti sifat asosiatif.
Sebenarnya sifat dalam aljabar terdapat beberapa jenis. Setiap sifat memberikan pengaruh yang berbeda dalam operasi hitung. Sedangkan, sifat asosiatif umumnya hanya berlaku pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian saja. Mari simak pembahasannya di artikel ini
Daftar ISI
Pengertian Aljabar dalam Matematika
Menurut KBBI (Kamus Besar Bahasa Indonesia), aljabar merupakan cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda dan huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka.
Selain itu, aljabar juga mempelajari bagaimana cara memanipulasi simbol-simbol tersebut.
Kata aljabar merupakan kata serapan yang berasal dari bahasa Arab al jabr yang berarti melengkapi atau restorasi. Al-Khawarizmi merupakan seorang cendekiawan yang menemukan istilah ini.
Bentuk aljabar dapat berupa operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan pengakaran. Di dalam operasi hitung tersebut terdapat beberapa sifat yang menyertainya, seperti sifat asosiatif, komutatif, dan distributif.
Operasi Hitung Aljabar dalam Matematika
Dalam aljabar terdapat beberapa bentuk operasi hitung yang seringkali ditemui. Untuk lebih jelasnya, Anda dapat mempelajarinya dalam penjelasan berikut.
1. Penjumlahan
Penjumlahan merupakan proses menjumlahkan suatu bilangan. Pada operasi hitung jenis ini, hanya berlaku untuk variabel yang memiliki jenis yang sama saja. Hasil akhir dari proses ini adalah nilai total dari semua bilangan.
2. Pengurangan
Pengurangan merupakan proses mengurangi atau mengurangkan. Proses ini juga bisa disebut sebagai penyusutan nilai bilangan. Seperti halnya penjumlahan, pengurangan hanya berlaku pada variabel yang sejenis.
3. Perkalian
Perkalian merupakan operasi hitung dengan cara mengalikan suatu bilangan. Berbeda dengan kedua operasi hitung sebelumnya, operasi hitung perkalian dapat berguna untuk semua jenis variabel.
4. Pembagian
Pembagian merupakan cara, proses, atau perbuatan membagi suatu bilangan. Seperti halnya operasi hitung perkalian, pembagian juga dapat Anda terapkan untuk semua jenis variabel. Perbedaannya adalah pada proses pembagian variabel yang sejenis akan dihilangkan.
Apa Itu Sifat Asosiatif?
Sifat asosiatif adalah bagian dari aljabar yang di dalamnya terdapat operasi hitung, baik perkalian maupun penjumlahan. Kondisi operasi hitung dikatakan bersifat asosiatif, apabila terdapat tiga angka atau lebih di dalamnya.
Selanjutnya hasil dari operasi hitung tersebut tidak bergantung pada penempatan angkanya.
Pasalnya, dalam sifat ini tidak berkaitan dengan pengelompokan angka dua bilangan dan hanya berlaku pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian. Sedangkan, pengelompokan angka biasanya disebut sebagai sifat komutatif.
Sejarah Sifat Asosiatif
Sejarah terbentuknya sifat asosiatif adalah pada tahun 1830-an. Saat itu melalui perjanjian aljabar disebutkan dua jenis aljabar, yakni aljabar simbolis dan aljabar aritmatika.
Selain itu, di dalam perjanjian tersebut juga terdapat upaya yang menjelaskan perlakuan logi semacam Euclid.
Tanggal tercetusnya aljabar asosiatif sulit dijelaskan secara rinci dan pasti. Sebab, pada saat itu masyarakat telah mengetahui sifat umum dari operasi hitung penjumlahan dan perkalian.
Pemahaman tersebut akhirnya berkembang dengan mengetahui bahwa pada perhitungan dua bilangan lebih, letak angkanya tidak mempengaruhi hasilnya.
Meski diketahui aljabar asosiatif berkembang pada tahun 1830-an, penemu dan waktu tepatnya sifat ini ditemukan tidak dapat diketahui secara pasti hingga sekarang.
Baca Juga : Â Definisi Himpunaan, Cara Menyatakan Jenis, dan Contoh Soalnya
Rumus Sifat Asosiatif
Seperti yang disebutkan sebelumnya, asosiatif aljabar cenderung terjadi pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian. Berikut penjelasan lengkapnya, yaitu:
1. Rumus Sifat Asosiatif dalam Penjumlahan
Penjumlahan asosiatif biasa disebut sebagai sifat tambahan merupakan perubahan yang terjadi pada urutan penambahan angka dan perubahan tersebut tidak mempengaruhi hasil dari penjumlahan.
Jadi, letak pengelompokan angka pada operasi penjumlahan tidak mempengaruhi hasil akhirnya.
Pada mulanya, terdapat beberapa keraguan yang muncul dalam penerapan sifat ini. Namun, keberadaannya justru mampu menyederhanakan operasi hitung yang berlangsung. Terutama ketika terdapat operasi hitung kombinasi.
Rumusnya secara singkat adalah sebagai berikut.
(a + b) + c = a + (b + c) = d
2. Rumus Sifat Asosiatif dalam Perkalian
Operasi hitung perkalian adalah salah satu jenis operasi hitung yang di dalamnya terdapat berbagai macam sifat. Salah satunya adalah sifat asosiatif.
Sifat ini dalam perkalian seperti yang telah dijelaskan, tidak mempengaruhi pengelompokan angka pada hasil akhirnya. Meski dalam perkalian terdapat banyak faktor yang dapat mempengaruhi.
Cara pengoperasiannya sendiri adalah dengan menghitung dua bilangan pertama, jika terdapat tiga bilangan di dalamnya. Secara umum, rumusnya dalam perkalian adalah sebagai berikut.
(a × b ) × c = a × (b × c)
4 Contoh Soal dan Pembahasannya
Berikut 4 contoh soal penggunaan aljabar asosiatif yang dapat Anda pelajari, yaitu:
1. Soal Pertama
1 + 2 + 3 = 6
(1 + 2) + 3 =
3 + 3 = 6
atau
1 + (2 + 3) =
1 + (5) = 6
2 + 3 + 4 = (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 10
4 + 2 + 6 = (4 + 2) + 6 = 4 + (2 + 6) = 12
5 + 3 + 7 = (5 + 3) + 7 = 5 + (3 + 7) = 15
6 + 7 + 8 = (6 + 7) + 8 = 6 + (7 + 8) = 21
2. Soal Kedua
1 + 2 + 3 + 4 = 10
(1 + 2) + (3 + 4) =
3 + 7 = 10
Atau bisa juga:
1 + (2 + 3) + 4 =
1 + 5 + 4 = 10
2 + 3 + 4 + 5 = (2 + 3) + (4 + 5) = 14
3 + 5 + 6 + 4 = (3 + 5) + (6 + 4) = 18
4 + 6 + 7 + 8 = (4 + 6) + (7 + 8) = 25
8 + 9 + 6 + 7 = (8 + 9) + (6 + 7) = 30
3. Soal Ketiga
1 x 2 x 3 = 6
Atau
(1 x 2) x 3 =
2 x 3 = 6
Atau
1 x (2 x 3) =
1 x 6 = 6
2 x 3 x 4 = (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24
4 x 5 x 3 = (4 x 5) x 3 = 4 x (5 x 3) = 60
6 x 7 x 2 = (6 x 7) x 2 = 6 x (7 x 2) = 84
5 x 4 x 6 = (5 x 4) x 6 = 5 x (4 x 6) = 120
2 x 7 x 8 = (2 x 7) x 8 = 2 x (7 x 8) = 112
4. Soal Keempat
1 x 2 x 3 x 4 = 24
Atau
(1 x 2) x (3 x 4) =
2 x 12 = 24
2 x 3 x 4 x 5 = (2 x 3) x (4 x 5) = 120
3 x 4 x 2 x 6 = (3 x 4) x (2 x 6) = 144
5 x 3 x 2 x 5 = (5 x 3) x (2 x 5) = 150
Baca Juga : Persamaan Garis Lurus: Pengertian, Sifat, Rumus, dan Soal
Sudah Paham Mengenai Sifat Asosiatif dalam Matematika?
Demikian pembahasan sifat asosiatif dalam aljabar. Sifat ini hanya berlaku pada operasi hitung penjumlahan dan perkalian . Selain itu, dalam prosesnya keberadaan sifat ini tidak memiliki pengaruh terhadap hasil akhir operasi hitung. Kondisi inilah yang membuat aljabar asosiatif tidak dapat diterapkan dalam operasi hitung lainnya.
Sebab, pada operasi hitung pengurangan atau pembagian, apabila terjadi perubahan letak angka dalam pengelompokannya, tentu mengubah hasil dari operasi hitung yang terjadi. Oleh karena itu, Anda tidak perlu menggunakan aljabar asosiatif dalam operasi hitung pengurangan dan pembagian.
