Barisan aritmatika merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika yang sering berlaku dalam berbagai konteks, dari ilmu pengetahuan alam hingga dunia keuangan. Nah, supaya kamu bisa memahami konsepnya dengan lebih mendalam, kamu perlu berlatih sejumlah contoh soal barisan aritmatika.
Untungnya, dalam artikel ini, kamu akan melihat berbagai contoh soal barisan aritmatika yang akan membantu memperkuat pembelajaran terkait rumus umum, mencari suku ke-n, dan menyelesaikan masalah yang melibatkan konsep barisan. Baca sampai selesai, ya!
Daftar ISI
Apa Itu Barisan Aritmatika?
Barisan aritmatika adalah deret bilangan di mana setiap angka berikutnya didapat dengan menambahkan jumlah tetap ke angka sebelumnya. Adapun jumlah tetap disebut beda atau selisih antara dua angka berturut-turut dalam deret tersebut.
Misalnya, jika kamu memiliki urutan bilangan 2, 5, 8, 11, dan 14, maka beda atau konstanta dalam deret tersebut adalah 3. Dalam konteks ini, barisan aritmatika dapat diwakili sebagai U1, U1 + b, U1 + 2b, U1 + 3b, dan seterusnya hingga suku ke-n.
Dalam menyelesaikan suatu contoh soal barisan aritmatika, rumus yang digunakan adalah:
Un = a1 + (n – 1) b
Sedangkan untuk mencari beda atau selisihnya (b), rumusnya adalah:
b = Un – Un₋₁
Dalam rumus tersebut, Un adalah suku ke-n dalam deret aritmatika, sedangkan Un₋₁ adalah suku sebelumnya. Kemudian, a1 adalah suku pertama dalam deret, n adalah jumlah suku yang ingin ditemukan, dan b adalah beda atau selisih antara dua suku berturut-turut.
Baca Juga : Contoh Barisan dan Deret Aritmatika, Rumus, dan Pembahasannya
10 Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Pembahasannya
Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan aritmatika dengan penyelesaian soalnya yang bisa Anda pelajari:
1. Contoh Soal 1
Temukan persamaan untuk suku umum dari deret aritmatika yang diberikan lalu gunakan untuk menghitung suku ke-20: 7, 5, 3, 1, …
Penyelesaian:
Mari terapkan rumus utama untuk mencari suku ke-20, lalu gantikan konstanta dengan nilai-nilai yang diketahui pada contoh soal barisan aritmatika ini:
Un = a1 + (n – 1) b
Un = 7 + (20 – 1) (-2) = 7 + 19 (-2) = 7 – 38 = -31
Jadi, suku ke-20 dalam barisan aritmatika ini adalah -31.
2. Contoh Soal 2
Dalam suatu barisan aritmatika berturut-turut, suku keempat dan kesepuluh adalah 21 dan 51. Maka, rumus untuk mencari suku ke-n dalam contoh soal barisan aritmatika ini adalah…
Penyelesaian:
- Langkah 1: Menentukan beda (b)
b = (51 – 21) / (10 – 4)
b = 30 / 6 = 5
- Langkah 2: Mencari suku pertama (a1)
Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a4 – (3 x b) karena suku keempat berada pada posisi ke-4.
a1 = 21 – (3 x 5)
a1 = 21 – 15 = 6
- Langkah 3: Mencari rumus umum untuk suku ke-n (Un)
Kamu bisa menggunakan rumus umum Un = a1 + (n – 1) x b untuk mencari suku ke-n.
Un = 6 + (n – 1) x 5
Un = 6 + 5n – 5 = 5n + 1
Jadi, rumus yang benar untuk mencari suku ke-n dalam barisan aritmatika ini adalah Un = 5n + 1.
3. Contoh Soal 3
Suku ke-6 dalam suatu barisan aritmatika adalah 24.000, dan suku ke-10 adalah 18.000. Untuk membuat suku ke-n menjadi nol, nilai n harus diisi dengan angka berapa?
Penyelesaian:
Dalam menyelesaikan contoh soal barisan aritmatika ini, diberikan informasi bahwa suku ke-6 adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Kamu akan menggunakan informasi ini untuk mencari nilai n ketika suku ke-n menjadi nol.
- Langkah 1: Menentukan beda (b)
Kamu bisa menggunakan rumus b = (a10 – a6) / (10 – 6) untuk mencari beda.
b = (18.000 – 24.000) / (10 – 6)
b = -6.000 / 4 = -1.500
- Langkah 2: Mencari suku pertama (a1)
Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a6 – (5 x b) karena suku ke-6 berada pada posisi ke-6.
a1 = 24.000 – (5 x -1.500)
a1 = 24.000 + 7.500 = 31.500
- Langkah 3: Mencari nilai n ketika suku ke-n menjadi nol
Untuk membuat suku ke-n menjadi nol, kamu perlu menyelesaikan persamaan Un = 0 dengan menggunakan rumus umum Un = a1 + (n – 1) x b.
0 = 31.500 + (n – 1) x -1.500
0 = 31.500 – 1.500n + 1.500
1.500n = 33.000
n = 33.000/ 1.500
n = 22
Jadi, untuk membuat suku ke-n menjadi nol, nilai n harus diisi dengan angka 22.
4. Contoh Soal Barisan Aritmatika 4
Temukan nilai suku ke-25 dari rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3.
Penyelesaian:
Untuk mencari suku ke-25, kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3, yaitu Un = 3n. Gantikan nilai n dengan 25:
U25 = 3 x 25
U25 = 75
Jadi, nilai suku ke-25 dari rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3 adalah 75.
5. Contoh Soal 5
Dalam segitiga siku-siku, panjang sisi-sisi membentuk sebuah barisan aritmatika. Jika sisi terpendek memiliki panjang 24 cm, berapakah panjang sisi siku-siku yang lain pada contoh soal barisan aritmatika tersebut?
Penyelesaian:
Jika panjang sisi terpendek dalam segitiga siku-siku adalah 24 cm dan panjang sisi-sisi membentuk sebuah barisan aritmatika, maka kamu bisa mencari panjang sisi siku-siku yang lain.
Dalam barisan aritmatika, suku pertama (a1) adalah 24 cm. Nah, kamu perlu mencari beda (b) antara suku-suku dalam barisan. Misalkan panjang sisi siku-siku yang lain adalah Un.
Dalam hal ini, kamu ingin mencari Un ketika n = 2 (karena sisi terpendek adalah suku ke-1). Kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:
Un = a1 + (n – 1) x b
Kemudian, substitusikan nilai yang diketahui:
Un = 24 + (2 – 1) x b
Un = 24 + b
Karena Un adalah panjang sisi siku-siku yang lain, kamu bisa menyimpulkan bahwa Un adalah suku kedua dalam barisan.
Dalam barisan aritmatika, suku kedua (Un) adalah 32 cm. Jadi, panjang sisi siku-siku yang lain adalah 32 cm.
6. Contoh Soal Barisan Aritmatika 6
Cari nilai suku tengah dalam barisan bilangan 9, 11, 13, 15, 17, …, 69.
Penyelesaian:
- Langkah 1: Menentukan jumlah suku
Dalam barisan ini, suku pertama (a1) adalah 9 dan suku terakhir (an) adalah 69. Kamu perlu mencari jumlah suku dalam barisan tersebut. Kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:
an = a1 + (n – 1) x b
Kemudian, substitusikan nilai yang diketahui:
69 = 9 + (n – 1) x 2
Setelah itu, sederhanakan persamaan tersebut:
60 = (n – 1) x 2
30 = n – 1
n = 31
Jadi, jumlah suku dalam barisan adalah 31.
- Langkah 2: Mencari suku tengah
Karena jumlah suku bernilai ganjil, maka suku tengah berada pada posisi ke-(n+1)/2 = (31+1)/2 = 16.
Kamu bisa mencari suku tengah dengan menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:
Un = a1 + (n – 1) x b
Lalu, substitusikan nilai yang diketahui:
U16 = 9 + (16 – 1) x 2
U16 = 9 + 15 x 2 = 9 + 30 = 39
Jadi, nilai suku tengah dalam barisan bilangan 9, 11, 13, 15, 17, …, 69 adalah 39.
7. Contoh Soal 7
Ada sebuah barisan aritmetika di mana suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Temukan nilai suku pertama dan beda dalam contoh soal barisan aritmatika tersebut. Selain itu, tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut, dan tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut!
Penyelesaian:
- Langkah 1: Menentukan beda (b)
Kamu bisa menggunakan rumus b = (a8 – a5) / (8 – 5) untuk mencari beda.
b = (29 – 14) / (8 – 5)
b = 15 / 3 = 5
- Langkah 2: Menentukan suku pertama (a1)
Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a5 – (4 x b) karena suku ke-5 berada pada posisi ke-5.
a1 = 14 – (4 x 5)
a1 = 14 – 20 = -6
- Langkah 3: Menentukan suku ke-12
Untuk mencari suku ke-12 (a12), kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika: Un = a1 + (n – 1) x b.
a12 = -6 + (12 – 1) x 5
a12 = -6 + 11 x 5 = -6 + 55 = 49
Jadi, suku ke-12 (a12) adalah 49.
- Langkah 4: Menentukan sepuluh suku pertama
Untuk menentukan sepuluh suku pertama, kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika. Dengan menggunakan rumus umum, kamu bisa menentukan sepuluh suku pertama pada contoh soal barisan aritmatika tersebut sebagai berikut:
a1 = -6
a2 = -6 + 5 = -1
a3 = -6 + 2 x 5 = 4
a4 = -6 + 3 x 5 = 9
a5 = -6 + 4 x 5 = 14
a6 = -6 + 5 x 5 = 19
a7 = -6 + 6 x 5 = 24
a8 = -6 + 7 x 5 = 29
a9 = -6 + 8 x 5 = 34
a10 = -6 + 9 x 5 = 39
Jadi, sepuluh suku pertama dalam barisan ini adalah -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39.
8. Contoh Soal 8
Temukan suku ke-n dari urutan aritmatika -5, -7/2, -2, ….
Penyelesaian:
Urutan yang diberikan adalah -5, -7/2, -2, …
Di sini, suku pertama adalah a = -5, dan perbedaan umumnya adalah, d = -(7/2) – (-5) = -2 – (-7/2) = … = 3/2.
Suku ke-n dari urutan aritmatika diberikan oleh
an = a1 + (n−1)d = -5 +(n – 1) (3/2)
an = -5+ (3/2)n – 3/2 = 3n/2 – 13/2
Jadi, suku ke-n dari urutan aritmatika yang diberikan adalah an = 3n/2 – 13/2.
9. Contoh Soal Barisan Aritmatika 9
Apakah -248 merupakan salah satu suku dari urutan aritmatika -3, -8, -13, -18,…?
Penyelesaian:
Urutan aritmatika yang diberikan adalah -3, -8, -13, -18,…
Kemudian, istilah pertama adalah a = -3 di mana perbedaan umumnya adalah, d = -8 – (-3) = -13 – (-8) = … = -5.
Hal ini mengingat bahwa istilah ke-n adalah, an = -248. Maka, ganti semua nilai ini dalam suku ke-n dari rumus urutan aritmatika:
an = a1 + (n−1)d
-248 = -3 + (-5)(n – 1)
-248 = -3 -5n + 5 ⇒ -248 = 2 – 5n ⇒ -250 = -5n
n = 50
Jadi, -248 adalah suku ke-50 dari contoh soal barisan aritmatika tersebut.
10. Contoh Soal 10
Temukan suku ke-20 alam ekspresi yang diberikan an=(n-1)(2-n)(3+n)!
Penyelesaian:
Untuk mencari nilai suku ke-20 (a20) dalam ekspresi pada an=(n-1)(2-n)(3+n), kamu bisa menggantikan nilai n dengan 20 dalam ekspresi tersebut:
a20 = (20-1)(2-20)(20+3)
a20 = 19 x (-18) x 23 = -7.886
Jadi, nilai suku ke-20 (a20) dalam ekspresi tersebut adalah -7.886..
Baca Juga : Deret Geometri: Definisi, Rumus, Jenis, dan Contoh Soalnya
Sudah Paham dengan Contoh Soal Barisan Aritmatika di Atas?
Dalam perjalanan kamu untuk mempelajari barisan aritmatika dan menyelesaikan contoh soal barisan aritmatika di atas, kamu telah menggali pemahaman yang lebih dalam tentang konsep tersebut. Melalui penerapan rumus-rumus yang relevan dan pemecahan masalah yang sistematis.
Kamu bisa menentukan suku-suku dalam barisan aritmatika dan menghitung nilai-nilai yang kamu perlukan. Pemahaman ini akan membantu kamu dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan barisan aritmatika di masa depan.
