Category: Matematika

Kamu tentu sudah mengenal tentang persamaan kuadrat ketika belajar matematika, kan? Persamaan kuadrat adalah sistem persamaan, di mana pangkatnya ada dua. Cara menentukannya adalah menggunakan pemfaktoran dan kuadrat sempurna. Namun, bagaimana jika pangkatnya lebih dari dua. Adakah contoh soal suku banyak?

Atau sebelum itu, bagaimana cara menentukan suku-suku dalam persamaan, di mana memiliki pangkat lebih dari dua? Nah, sistem persamaan dengan pangkat lebih dari dua ini disebut juga sebagai polinomial atau suku banyak. Ingin tahu lebih lanjut? Simak terus ulasan ini sampai selesai!

Apa Itu Suku Banyak?

Suku banyak merupakan salah satu bentuk operasi aljabar dalam Ilmu Matematika. Umumnya, operasi suku banyak terdiri dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. 

Contoh persamaan dari sistem ini adalah x³ + 2x² + 3x – 4 = 0. Ada pula teorema sisa untuk mengetahui sisa hasil bagi suku banyak secara langsung.

Secara sederhana, rumus umum persamaan suku banyak adalah:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + …. + a₁x + a₀

Keterangan:

• Derajat (n) merupakan pangkat tertinggi dari suatu suku banyak.
• Variabel (x) merupakan bilangan dengan lambang huruf, misalnya x.
• Koefisien (a) merupakan bilangan yang mengikuti variabel.

Pada contoh soal suku banyak operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak, ada operasi dasar yang sama. Ini berlaku apabila f(x) dan g(x) adalah suku banyak dengan derajat m dan n. Maka teorema yang bisa menjadi patokan adalah:

• f(x) ± g(x) adalah suku banyak dengan derajat maksimum m atau n. 
• f(x) x g(x) adalah suku banyak dengan derajat (m + n). 

Teorema Sisa Suku Banyak

Sementara itu, jika suku banyak f(x) = a₂x² + a₁x + a₀ dibagi dengan P(x) menunjukkan hasil bagi H(x) dan sisa S. Maka, konsep teorema sisa yang berlaku adalah:

 f(x) = P(x) . H(x) + S(x)

Keterangan:

Apabila f(x) memiliki derajat n, P(x) memiliki derajat m (m ≤ n), maka derajat H(x) adalah (n – m) dan derajat maksimum S(x) adalah (m – 1).

Ada dua syarat pembagi untuk teorema sisa, yaitu pembagi dengan (x – k) dan pembagian dengan (ax + b). Berikut ini aturannya:

1. Pembagian dengan (x – k)

Apabila contoh soal suku banyak f(x) dengan derajat n dibagi (x – k), maka sisa S = f(k). Nilai suku banyak x = k dapat ditentukan dengan menerapkan strategi substitusi maupun strategi skema.

2. Pembagian dengan (ax + b)

Apabila suku banyak dengan derajat n dibagi (ax + b), maka sisa S adalah f(-a/b). Sisa ini adalah nilai suku banyak x = -a/b dan dapat ditentukan dengan strategi substitusi maupun skema.

Pembagian Suku Banyak Metode Horner

Ada pula aturan penggunaan metode horner untuk operasi pembagian suku banyak adalah:

1. Tempatkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas. Semua selalu berawal dari pangkat tertinggi dan berurutan. Apabila terdapat suku banyak dengan salah satu pangkatnya tidak ada, maka koefisien pangkat x³ bisa diganti 0. Misalnya, 2x⁴ + 3x² – 5x – 9 = 0.

2. Tempatkan faktor pengali di bagian sisi kiri.

3. Hasil bagi adalah bagian baris bawah di samping kiri, sementara sisa berada di samping kanan. Maka, rumusnya adalah:

Hasil bagi = kolom bagian kiri / koefisien derajat pembagi

Sisa = kolom bagian kanan

Contoh Soal Suku Banyak dan Pembahasan

Berikut berbagai macam contoh soal yang bisa kamu pelajari untuk memperdalam pemahaman kamu:

Contoh Soal Suku Banyak 1

Jika f(x) = 2x³ + 4x² + 6x + 8 dan g(x) = 7x² – 9x – 11, maka hasil dari f(x) + g(x) adalah …

Pembahasan:

f(x) +g(x) = (2x³ + 4x² + 6x + 8) + (7x² – 9x – 11)

= 2x³ + (4 + 7)x² + (6 – 9)x + 8 -11

= 2x³ + 11x² – 3x – 3

Jadi, hasil penjumlahan f(x) + g(x) adalah 2x³ + 11x² – 3x – 3.

Contoh Soal Suku Banyak 2

Diketahui f(x) = 2x³ + 5x² + 9x + 10 dan g(x) = 4x³ + 7x² – 10x + 5. Tentukan nilai dari f(x) + g(x)!

Pembahasan:

f(x) + g(x) = (2x³ + 5x² + 9x + 10) + (4x³ + 7x² – 10x + 5)

f(x) + g(x) = (2+4)x³ + (5+7)x² + (9+10)x + (10+5)

= 6x³ + 12x² + 19x + 15

Jadi, nilai dari f(x) + g(x) adalah 6x³ + 12x² + 19x + 15

Contoh Soal Suku Banyak 3

Jika P(x) = 3x – 3x² – 1 dan Q(x) = 3x² + x – 2. Maka operasi penjumlahan dari P(x) + Q(x) dan derajatnya adalah…

Pembahasan:

P(x) + Q(x) = (3x – 3x² – 1) + (3x² + x – 2)

P(x) + Q(x) = – 3x² + 3x² + 3x + x -1 – 2

= 4x – 3

Jadi, hasil penjumlahan dari P(x) + Q(x) adalah 4x – 3. Persamaan suku banyak ini memiliki nilai pangkat tertinggi 1, sehingga termasuk suku banyak dengan derajat 1.

Contoh Soal Suku Banyak 4

Diketahui f(x) = 5x⁴ + 7x² – 3x + 5 dan g(x) = 4x⁴ – 8x³ + 2x + 10. Tentukan nilai dari f(x) -g(x)!

Pembahasan:

f(x) – g(x) = (5x⁴ + 7x² – 3x + 5) – (4x⁴ – 8x³ + 2x + 10)

f(x) – g(x) = (5 – 4)x⁴ – (- 8x³) + 7x² + (- 3 – 2)x + 5 – 10

= x⁴ + 8x³ + 7x² – 5x – 5

Jadi, hasil pengurangan dari f(x) – g(x) adalah x⁴ + 8x³ + 7x² – 5x – 5

Contoh Soal Suku Banyak 5

Berikut ini diketahui f(x) = 5x³ + 5x² + 17x + 10 dan g(x) = x³ + 2x² + 10x + 5. Berapakah nilai dari f(x) – g(x)?

Pembahasan:

f(x) – g(x) = (5x³ + 5x² + 17x + 10) – (x³ + 2x² + 10x + 5)

f(x) – g(x) = (5-1)x³ + (5-2)x² + (17-10)x + (10-5)

= 4x³ + 3x² + 7x + 5

Jadi, hasil pengurangan dari f(x) – g(x) adalah 4x³ + 3x² + 7x + 5.

Contoh Soal Suku Banyak 6

Jika P(x) = 2x⁴ – 5x³ + 6x² – x – 2 dan Q(x) = x⁵ – 1. Tentukan hasil dari P(x) – Q(x) beserta derajatnya!

Pembahasan:

P(x) – Q(x) = (2x⁴ – 5x³ + 6x² – x – 2) – (x⁵ – 1)

P(x) – Q(x) = 2x⁴ – 5x³ + 6x² – x – x⁵ + 1

= – x⁵ + 2x⁴ – 5x³ + 6x² – x + 1

Jadi, hasil pengurangan dari P(x) – Q(x) adalah – x⁵ + 2x⁴ – 5x³ + 6x² – x + 1. Di mana nilai pangkat tertingginya adalah 5, sehingga termasuk suku banyak dengan derajat 5.

Contoh Soal Suku Banyak 7

Tentukan hasil perkalian dari dua suku banyak berikut (2x² + 6)(x³ – x + 2)!

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, kamu bisa menggunakan sifat distributif, berikut caranya:

(2x²)(x³) + (2x²)(-x) + (2x²)(2)+(6)(x³) + (6)(-x)+(6)(2)

f(x) = 2x²⁺³ – 2x²⁺¹ + 4x²⁺⁰ + 6x³ – 6x+12

f(x) = 2x⁵ – 2x³ + 4x² + 6x³ – 6x+12

= 2x⁵ + (-2+6)x³ + 4x² – 6x+12

= 2x⁵ + 4x³ + 4x² – 6x+12

Jadi, hasil perkalian dari dua suku banyak tersebut adalah 2x⁵ + 4x³ + 4x² – 6x+12

Contoh Soal Suku Banyak 8

Carilah sisa pembagi suku banyak 8x³-2x²+5 dengan (x+2)!

Pembahasan:

Kamu bisa menyelesaikan soal ini dengan menggunakan strategi substitusi seperti berikut:

f(x) = 8x³ – 2x² + 5 

f(-2) = 8(-2)³ – 2(-2)² + 5

= -64 – 8 + 5 = -67

Jasi, sisa S dalam persamaan suku banyak di atas adalah -67.

Cara kedua yang bisa kamu lakukan adalah menggunakan strategi skema atau bagan dengan pembagian (x-k). Berikut skemanya:

Contoh Soal Suku Banyak 9

Tentukan sisa hasil bagi dari f(x) = x³ – 9x + 14 oleh x-3!

Pembahasan:

Sesuai konsep sisa, f(x) yang dibagi dengan (x-k) sisanya atau S = f(k). Maka (x-k) = (x-3) sehingga nilai k = 3, kemudian substitusikan k = 3 ke dalam persamaan f(x) = x³ – 9x + 14.

f(3) = 3³ – 9(3) + 14

= 27 – 27 + 14 = 14

Jadi, sisa hasil bagi persamaan di atas adalah 14.

Contoh Soal Suku Banyak 10

Tentukan sisa pembagian dari persamaan suku banyak 3x³ + 6x² – 5x – 6 oleh x² + 2x + 3!

Pembahasan:

Jadi, sisa pembagian dari persamaan di atas adalah -14x – 6.

Contoh Soal Suku Banyak 11

Terdapat dua suku banyak x³ – 4x² + 5x + m dan x² + 3x -2, jika dibagi dengan x + 1 akan mempunyai sisa sama, maka berapakah nilai dari 2m + 5?

Pembahasan:

Diketahui f(x) = x³ – 4x² + 5x + m

g(x) = x² + 3x – 2

Apabila dibagi (x + 1) => x = -1 mempunyai sisa yang sama. Maka:

f(-x) = g(-1)

x³ – 4x² + 5x + m = x² + 3x – 2

(-1)³ – 4(-1)² + 5(-1) + m = (-1)² + 3(-1) – 2

-1 – 4 – 5 + m = 1 – 3 – 2

– 10 + m = – 4

m = -4 + 10 = 6

Selanjutnya, masukkan nilai m ke dalam 2m + 5, sehingga menjadi 2(6) + 5 = 17. Jadi, nilai dari 2m + 5 adalah 17.

Contoh Soal Suku Banyak 12

Diketahui persamaan suku banyak f(x) = x³ + ax² – bx – 5 dibagi dengan (x – 2), menunjukkan hasil bagi dan sisa 17. Berapakah nilai dari a + b?

Pembahasan:

Dalam contoh soal tipe ini, kamu bisa menggunakan rumus teorema sisa, seperti berikut:

f(x) = H(x). P(x) + sisa

f(x) = (x-2)(x² + 4x + 11) + 17

= x³ + 4x² + 11x – 2x² – 8x – 22 + 17

= x³ + 2x² + 3x – 5

Berdasarkan persamaan suku banyak f(x) = x³ + ax² – bx – 5 dan hasil perhitungan yang diperoleh, dapat diketahui bahwa nilai a adalah 2 dan nilai b adalah -3. Maka, nilai dari a + b = 2 + (-3) = -1. 

Contoh Soal Suku Banyak 13

Diketahui, suatu persamaan suku banyak f(x) = x³ – 4x² + px + 6 dan g(x) = x² + 3x – 2 dibagi dengan (x + 1) memiliki sisa yang sama. Maka, berapakah nilai p dalam persamaan tersebut?

Pembahasan:

(x + 1) => x = -1

Maka, f(-1) = g(-1)

x³ – 4x² + px + 6 = x² + 3x – 2 

(-1)³ – 4(-1)² + p(-1) + 6 = (-1)² + 3(-1) – 2 

-1 – 4 – p + 6 = 1 – 3 – 2

– p = -4 -1

p = 5

Jadi, nilai p dalam persamaan suku banyak f(x) = x³ – 4x² + px + 6 adalah 5

Contoh Soal Suku Banyak 14

Diketahui suku banyak f(x) = x³ – 2x² – x – 5. Nilai f(x) untuk x = 3 adalah…

Pembahasan:

Dalam contoh soal tipe ini, kamu bisa langsung menerapkan metode substitusi dengan memasukkan nilai x ke dalam persamaan. Berikut caranya:

f(x) = x³ – 2x² – x – 5

f(3) = 3³ – 2(3)² – 3 – 5

= 27 – 18  – 3 – 5 = 1

Jadi, nilai f(x) untuk x = 3 adalah 1.

Sudah Memahami Contoh Soal Suku Banyak?

Operasi hitung aljabar untuk suku banyak terdiri dari berbagai macam metode, baik penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pembagian suku banyak juga bisa kamu selesaikan menggunakan teorema sisa ataupun pembagian horner. Kamu bisa melihat berbagai contoh soal di atas untuk latihan soal seputar polinomial.

Pernah tidak kamu jumpai contoh soal integral tentu untuk menentukan luas bangun yang berada di bawah kurva? Jika kamu masih kesulitan mengerjakannya, artikel ini akan menyajikan beberapa contoh lengkap beserta penjelasannya.

Pengertian Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang mempunyai batas atas dan batas bawah yang menghasilkan suatu nilai. Sehingga, pada hasil akhirnya hasilnya pasti. 

Batas-batas tersebut merupakan variabel dari persamaan fungsi yang akan diintegralkan. Fungsi integral tentu yakni sebagai berikut.

Keterangan: 

f(x) dx = persamaan fungsi yang akan diintegralkan 

F (b) = Fungsi Integral dengan batas b

F (a) = Fungsi Integral dengan batas a

Kaidah-Kaidah Integral Tentu

Pada integral tentu, terdapat beberapa kaidah yang harus kamu tahu dan pahami. Pasalnya, kaidah ini merupakan ketetapan yang tidak dapat kamu ubah rumusnya. Kaidah dari integral tentu tersebut dapat kamu lihat di bawah ini.

3 Manfaat Integral Tentu

Integral tentu memiliki peran penting dalam kehidupan sehari-hari. Pelajaran ini sangat berfungsi di segala bidang. Berikut 3 manfaat utamanya, yaitu:

1. Bidang Matematika

Integral adalah salah satu pelajaran dari matematika, jadi tidak heran jika dalam dunia matematika integral tentu banyak sekali manfaatnya yakni sebagai berikut ini :

• Mencari luasan daerah kurva. Kurva ini khusus untuk kurva yang menghadap ke bawah.
• Mencari volume benda putar.
• Menentukan panjang dari busur.

2. Bidang Ekonomi

Ternyata, integral tentu bisa digunakan dalam bidang ekonomi. Banyak pakar ekonomi yang memakai ilmu ini untuk menghitung atau mengamati keuangan, khususnya biaya marginal.

Biaya Marginal adalah peningkatan ataupun penurunan dari biaya total yang dikeluarkan oleh suatu perusahaan. Biaya ini sangat penting dalam mengoperasikan produksi perusahaan. Integral tentu dapat memecahkan permasalahan tersebut. 

Permasalahan biaya marginal yakni sebagai berikut, yaitu:

• Mencari fungsi asal dari fungsi biaya marginal. 
• Menemukan fungsi biaya total (biaya marginal perusahaan).
• Menentukan fungsi penerimaan total per tahun dari fungsi penerimaan marginal. 
• Menentukan fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.
• Menentukan fungsi tabungan atau investasi.

3. Bidang Teknologi

Pada dunia teknologi, integral tentu sangat berguna. Banyak hal yang tidak dapat dihitung karena susahnya untuk dilakukan, ternyata integral tentu bisa menyelesaikannya. Berikut manfaat integral tentu di bidang teknologi, yaitu:

• Mengukur jumlah air tangki yang bocor selama selang waktu berdasarkan laju air pada tangki.
• Mengukur ketinggian maksimum yang dapat dicapai pesawat terbang berdasarkan kecepatan pesawat 
• Memecahkan persoalan jumlah populasi dan surplus konsumen.

5 Contoh Soal Integral Tentu dan Pembahasan

Mari kita mulai dengan 5 contoh soal integral tentu beserta pembahasannya, yaitu:

Contoh Soal 1

Mari tentukan hasil dari persamaan integral di bawah ini.

Jawab:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kamu ikuti kaidah pertama 

Kemudian subtitusikan persamaan diatas ke persamaan yang di soal, yaitu:

Contoh Soal 2

Tentukan hasil dari integral berikut.

Jawab:

Nah, karena hasil dari integralnya sudah ketemu, lanjut ke batas atas dan batas bawah dari f(x) = x³

Contoh Soal 3

Integral dari persamaan berikut adalah … 

Jawab =

Nah, selanjutnya mari kita cari pembatas a dan b 

Karena sudah ketemu, mari kita masukkan ke dalam rumus integral tentu, yaitu:

Contoh Soal 4

Jawab:

Mari selesaikan integralnya, yaitu:

Setelah itu mari kita masukkan pembatas nya 

Contoh Soal 5

Jawab: 

Langkah awal menyelesaikan integral tentu, yaitu:

Setelah diketahui hasilnya, mari kita masukkan batas awal dan akhir.

• batas c

• batas a

Karena telah ditemukan hasil dari tiap batas, maka substitusikan ke rumus integral 

Baca Juga : Memahami Rumus Integral, Contoh Soal, dan Pembahasannya

Sudah Siap Mengerjakan Contoh Soal Integral Tentu?

Demikian penjelasan contoh soal integral tentu beserta penjelasannya yang dapat kamu pahami untuk mengasah otak. Kamu dapat mengerjakannya tanpa melihat hasilnya, lalu cek apakah sudah benar atau belum.

Semoga artikel ini juga dapat membantu kamu dalam belajar integral dan memahami soal-soal saat ujian. Dengan demikian kamu tidak merasa kesusahan lagi. Selain itu, kamu juga harus rajin berlatih agar semakin hafal mengenai integral tentu ya!

Tahukah kamu, cermin ternyata masih ada kaitannya dengan ilmu matematika? Karena terdapat peristiwa pencerminan atau refleksi yang dapat diketahui melalui suatu persamaan umum secara matematis. Nah, rumus pencerminan transformasi geometri bisa menunjukkan hasil atau bayangannya.

Selain itu, kamu tentu sudah memahami jika jarak antara bayangan dan cermin pasti selalu sama dengan jarak kamu dan cermin. Semakin kamu menjauh dari cermin, tentu bayanganmu akan semakin kecil yang terlihat. Jadi, untuk mengetahui lebih jelas peristiwa ini dalam ilmu matematika, simak ulasan selengkapnya di bawah ini!

Pengertian Pencerminan dalam Transformasi Geometri

Transformasi geometri merupakan perubahan posisi dan ukuran suatu objek pada bidang geometri, seperti titik, garis, dan kurva. 

Transformasi ini dapat dituliskan dalam bentuk koordinat Cartesius dan matriks, lantaran memiliki garis dan titik. Lebih lanjut, ada banyak jenis transformasi geometri yang bisa kamu pelajari, seperti refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi. 

Apakah kamu pernah bercermin dan mengamati bayanganmu di cermin? Nah, itu adalah salah satu contoh transformasi geometri berupa refleksi. Refleksi atau pencerminan merupakan perpindahan titik suatu objek pada bidang berdasarkan sifat pembentukan bayangan pada cermin datar.

Rumus Pencerminan Transformasi Geometri

Pencerminan bisa kamu lakukan terhadap sumbu X maupun sumbu Y, mengingat kedua sumbu ini dapat dianalogikan sebagai cermin. Persamaan umum dari pencerminan dapat diketahui dalam berbagai rumus, seperti berikut:

1. Refleksi Terhadap Sumbu Y

Koordinat X’ adalah lawan dari koordinat X dengan koordinat Y tetap, apabila terjadi pencerminan terhadap sumbu Y. Secara matematis, berikut ini rumus untuk menentukan hasil pencerminannya:

P(x, y) menjadi P(-x, y)

Keterangan:

P(x, y) = titik koordinat awal

P’(-x, y) = titik koordinat akhir

2. Refleksi Terhadap Sumbu X

Apabila sumbu X diibaratkan sebagai cermin, maka koordinat y’ adalah lawan dari koordinat y, dimana koordinat x tetap. Rumus pencerminan transformasi geometri terhadap sumbu X adalah:

(x, y) menjadi (x, -y)

Keterangan:

P(x, y) = titik koordinat awal

P’(x, -y) = titik koordinat akhir

3. Refleksi Terhadap Garis Y = X

Selain terhadap sumbu x dan sumbu y, refleksi juga dapat dilakukan pada suatu objek terhadap garis. Refleksi terhadap garis Y = X dapat diketahui melalui rumus berikut:

P(x, y) menjadi P’(y, x)

4. Refleksi Terhadap Garis Y = -X

Apabila suatu titik P dengan koordinat (x, y) direfleksikan terhadap garis y = -x, maka menghasilkan koordinat P’(-y, -x). Jadi, rumus pencerminan transformasi geometri pada garis ini adalah:

P(x, y) menjadi P’(-y, -x)

Keterangan:

X’ = -y dan Y’ = -x

5. Refleksi Terhadap Garis Y = k

Adapun rumus pencerminan transformasi geometri pada titik P(x, y) terhadap garis y = k, maka menghasilkan koordinat P’(x, (2k – y)). Jadi, rumus refleksi pada garis ini adalah:

(x, y) menjadi (x, (2k – y))

6. Refleksi Terhadap Garis X = h

Apabila terdapat pencerminan terhadap garis x = h pada titik P dengan koordinat (x, y), maka akan menghasilkan koordinat P’((2h -x), y). Jadi, rumus refleksi pada garis ini adalah:

P(x, y) menjadi P’(2h -x, y)

7. Refleksi Terhadap Titik Asal 0 (0, 0)

Terakhir, persamaan umum untuk pencerminan dalam transformasi geometri adalah refleksi terhadap titik asal 0 (0, 0). Rumus refleksi terhadap titik asal, yaitu:

(x, y) menjadi (-x, -y)

Sifat-Sifat Pencerminan

Setelah mengetahui rumus pencerminan transformasi geometri, kamu mungkin sudah mendapatkan gambaran sifatnya. Refleksi memiliki prinsip pergeseran, hampir sama dengan translasi. Bedanya, pencerminan mempunyai sifat tertentu yang menunjukkan posisi akhir objek sebagai hasil pencerminan dari objek awal. Berikut ini sifatnya:

• Terdapat sumbu X atau sumbu Y yang dianalogikan sebagai pusat refleksi atau cermin.
• Jarak antara titik awal objek ke cermin dan jarak titik akhir objek ke cermin adalah sama.
• Garis penghubung antara objek awal dan objek akhir selalu tegak lurus dengan cermin. Apabila suatu objek dicerminkan terhadap sumbu X, maka garis penghubungnya tegak lurus dengan sumbu X. Begitupun pencerminan terhadap sumbu Y.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh dari penerapan rumus pencerminan transformasi geometri beserta pembahasannya:

Contoh 1

Tentukanlah koordinat bayangan (A’) dari titik A (4, -2), dicerminkan terhadap sumbu X.

Pembahasan:

A= (a,b) maka A’ (a, -b)

A= (4, -2) maka A’ (4, 2)

Jadi, koordinat bayangan dari titik A adalah (4, 2).

Contoh 2

Tentukan titik A’, jika titik A adalah (4, -2) terhadap garis X = -5!

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal ini, gunakan rumus garis X = h.

(x, y) = (2H – x, y) 

(4, -2) = (2(-5) – 4, -2) 

= (-14, -2)

Jadi, titik A’ berada pada koordinat (-14, -2).

Contoh 3

Tentukan bayangan dari persamaan garis x – 2y – 3 = 0 pada pencerminan terhadap sumbu x!

Pembahasan:

Gunakan rumus pencerminan transformasi geometri (x,y) menjadi (x’, y’)

Dimana x’ = x dan x = x’

Y’ = -y dan y = -y’

Selanjutnya, subtitusikan x’  x= dan y’ = -y pada persamaan garis x – 2y – 3 = 0.

X – 2y – 3 = 0

(x’) – 2(-y’) – 3 = 0

Maka X’ + 2y’ -3 = 0 

Jadi, bayangan dari persamaan garis x – 2y – 3 = 0 pada pencerminan terhadap sumbu x adalah x + 2y – 3 = 0.

Contoh 4

Apabila titik C(-2, 6) direfleksikan terhadap garis y = -x, berapakah koordinat bayangannya?

Pembahasan:

Dalam hal ini, gunakan rumus refleksi P(x, y) = P’(-y, -x).

C(x, y) = C’(-y, -x)

= C’(-6, -(-2)) = C’(-6, 2)

Jadi, bayangan titik C(-2, 6) oleh pencerminan berada di titik C’(-6, 2).

Contoh 5

Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah…..

Pembahasan:

Rumus dasar, yakni P (x,y) menjadi P’ (x’,y’)…..   (1)

Jika pencerminan pada garis y=x, maka P (x,y) menjadi P’ (y,x)…..   (2)

Berdasarkan rumus 1 dan 2, maka:

x’ = y dan y’ = x …. (3)

Lalu, subtitusikan rumus 3 ke garis y= 2x + 2

x’ = 2y + 2

2y = x’-2

y= x/2 – 1

Jadi, hasil pencerminannya adalah y= x/2 – 1.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Selain mengetahui rumus pencerminan transformasi geometri, kamu juga bisa mengetahui apa saja jenis transformasi geometri untuk menambah pengetahuanmu. Berikut ini masing-masing penjelasannya:

1. Rotasi

Rotasi atau perputaran pada transformasi geometri merupakan pemindahan titik objek dengan cara memutar objek sejauh x derajat terhadap suatu titik tertentu. Pada bidang datar, ada beberapa hal yang menentukan sebuah rotasi, seperti titik pusat rotasi, besaran sudut, dan arah sudut rotasi. 

Besaran sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan titik bayangan ke pusat rotasi. Sementara itu, apabila arah sudut rotasi searah dengan jarum jam, maka nilai sudut rotasi adalah negatif. Sedangkan pemutaran yang berlawanan arah jarum jam hasilnya positif.

2. Dilatasi

Jenis transformasi geometri selanjutnya yaitu dilatasi. Ini mencakup perubahan ukuran sebuah objek, dimana bentuk dan posisi awal dan akhir ukurannya akan berubah, meski tidak diputar. Perubahan jarak titik pada dilatasi menggunakan faktor pengali. Rumus umum untuk dilatasi adalah:

(x’, y’) = (k, k) (x-a, y-b) + (a, b) = (k(x – a) + a, k(y-b) + b)

Contoh sederhana dari dilatasi adalah ukuran ketika mencetak foto, misalnya ukuran 3 x 4 atau 4 x 6. Ukuran ini dapat kamu perbesar dan perkecil dengan skala tertentu tanpa memutarnya.

3. Translasi

Translasi merupakan perpindahan suatu titik sepanjang garis lurus, tanpa mengubah arah dan ukurannya. Rumus umum dalam translasi pada titik (x, y) yang berpindah sejauh vektor (a, b) adalah:

(x’, y’) = (x, y) + (a, b)

(x’, y’) = (x + a, y + b) dimana (x’, y’) adalah titik bayangan.

Contoh sederhana dari translasi dalam kehidupan sehari-hari bisa kamu lihat pada orang yang bermain perosotan. Orang ini dapat berpindah tempat dengan jarak tertentu, tanpa mengalami suatu perubahan apapun. Nyatanya, orang ini hanya berpindah posisi dari atas ke bawah, tanpa berubah postur atau ukurannya.

Baca Juga : Deret Geometri: Definisi, Rumus, Jenis, dan Contoh Soalnya

Sudah Paham Rumus Pencerminan Transformasi Geometri?

Secara keseluruhan, ada enam persamaan umum dalam refleksi, baik terhadap sumbu maupun garis. Persamaan tersebut adalah refleksi terhadap sumbu x dan sumbu y, refleksi terhadap garis y = x, garis y = -x, garis x = h, dan garis y = k. Lebih lanjut, kamu bisa memahami lebih dalam melalui contoh soal dan pembahasannya juga, lho.

Kamu tahu tidak apa itu trigonometri? Pelajaran matematika ini berhadapan dengan sudut segitiga. Pasti kamu juga pernah mendengar sinus, cosinus dan tangen bukan pada rumus segitiga? Nah, kali ini kita akan mempelajari sudut istimewa trigonometri.

Pengertian Sudut

Sudut adalah daerah yang terbuat dari dua garis yang berpotongan. Misalnya, dua jarum jam yang menunjukkan pukul 3. 

Nah, itu akan membentuk sudut, apabila kamu ukur menggunakan busur. Untuk mempelajari sudut, berikut ini rumus mengenai sudut yang dapat kamu pelajari, yaitu:

• Ukuran Sudut Dalam Derajat

• Ukuran Sudut Dalam Radian

Berdasarkan rumus diatas dapat kamu simpulkan, mengukur sudut itu penting sekali. 

Ukuran sudut antara derajat dan radian sangat berbeda dan memiliki besaran sudut yang berbeda juga. Apalagi untuk sudut trigonometri yang akan kamu pahami berikut ini.

Pengertian Trigonometri

Trigonometri berasal dari dua buah kata yaitu “trigonon” dan “metron”. Trigonon adalah tiga sudut. Tiga sudut tersebut bisa kamu lihat pada bangun segitiga. Sedangkan metron adalah mengukur. 

Jadi trigonometri adalah ilmu yang membahas ukuran sudut, garis, dan sisi  yang ada pada segitiga. Ilmu trigonometri biasanya untuk navigasi di laut, udara, dan angkasa, teori musik, astronomi, dan menghitung luas segitiga. 

Dalam sebuah bangun segitiga, terdapat sudut sudut istimewa. Khususnya segitiga siku-siku. Terdapat sinus, cosinus, tangen, cos, cotangen, dan lainnya seperti yang ada pada gambar.

Aturan tentang sinus berguna untuk menghubungkan sisi segitiga dengan sudutnya. Sedangkan, aturan cosinus berfungsi untuk menghubungkan ketiga sisi segitiga ke satu sudut. 

Untuk menghitung sudut pada segitiga yang ada pada lingkaran, kamu harus tahu segitiga tersebut masuk di bagian kuadran mana. 

Pada lingkaran dibagi menjadi empat bagian yaitu Kuadran I, II, III dan IV. Penjelasan mengenai kuadran yakni sebagai berikut, yaitu:

Kuadran	Rentang Sudut	Nilai
I	0° – 90°	Sinus (+), Cosinus (+), dan Tangen (+)
II	90° – 180°	Sinus (+) , Cosinus(-), dan Tangen (-)
III	180° – 270°	Sinus (-) , Cosinus(-), dan Tangen (+)
IV	270° – 360°	Sinus (-) , Cosinus(-), dan Tangen (-)

Sudut Istimewa Trigonometri

Sudut istimewa trigonometri adalah sudut  tertentu yang memiliki nilai tanpa perlu kamu hitung manual menggunakan kalkulator. Sudut ini yakni sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.  

Sudut ini dalam matematika dihitung berdasarkan sin, cos, tan, cosecan, secan, cotangen. Simak penjelasannya pada tabel ini. 

	0°	30°	45°	60°	90°	120°	180°	270°	360°
Sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1	√3/2	0	-1	0
Cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1/2	-1	0	1
Tan	0	1/√3	1	√3	Tak hingga	-√3	0	Tak hingga	0
Cotan	Tak hingga	√3	1	1/√3	0	-1/√3	Tak hingga	0	Tak hingga
Secan	1	2/√3	√2	2	Tak hingga	-2	-1	Tak hingga	1
Cosec	Tak hingga	2	√2	2/√3	1	2/√3	Tak hingga	-1	Tak hingga

Tabel diatas merupakan tabel penetapan dari sudut sudut segitiga. Jadi jika kita tarik kesimpulan,  maka sebagai berikut.

Identitas Trigonometri 

Identitas trigonometri adalah hubungan antara fungsi dalam trigonometri yang menghasilkan kesamaan perbandingan sudut. Hubungan tersebut berisi pernyataan, ruas kiri dan ruas kanan memiliki kesamaan fungsi dalam trigonometri. Berikut 3 identitas trigonometri, yaitu:

a. Konsep Identitas Kebalikan 

b. Konsep Komparasi

c. Konsep Phytagoras

Perbandingan Trigonometri

Seperti yang telah dijelaskan di atas, pada trigonometri kita akan membahas tentang sudut, identitas, dan perbandingan dalam sebuah segitiga. Supaya kamu lebih paham, mari perhatikan penjelasan segitiga di bawah ini.

Pada segitiga di atas, terdapat 3 buah sisi yang mengacu pada sudut . Nah ketiga sisi tersebut yakni sebagai berikut : 

• a = sisi depan yang menghubungkan titik A dan B
• b = sisi samping yang menghubungkan titik B dan C
• c = sisi miring yang menghubungkan titik A dan C

Dalam mencari perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku di atas, terdapat rumus yang harus kamu hafal. Untuk memudahkan hafalanmu ada singkatan persamaan. 

Selain itu dari rumus diatas kamu akan memperoleh sudut yang lainnya yaitu : 

5 Contoh Soal Sudut Istimewa Trigonometri

Berikut 5 contoh soal tentang materi sudut istimewa trigonometri yang dapat kamu pelajari, yaitu:

Contoh Soal 1 

Tentukan nilai dari sin 90° + cos 60° =

Jawab =

Contoh Soal 2 

Ubah sudut berikut menjadi radian 

1. 100° 
2. 210°
   Jawab =

Contoh Soal 3

Berapa nilai sin 150°?

Jawab = 

Sin 150° = Sin (180° -150°)

              = Sin 30°

Karena nilai sinus di kuadran II bernilai positif,  maka nilai sinus 150°=sinus 30° = ½.

Contoh Soal 4

Sebuah menara tinggi berdiri tegak lurus di pinggir danau. Dengan jarak 100 meter dari ujung menara ke permukaan danau, seorang pengamat melihat ujung menara dari sudut 30 derajat terhadap permukaan air. Bagaimana menghitung tinggi menara tersebut? 

Jawab: 

Dalam situasi ini, sudut 30 derajat antara pengamat dan permukaan air dapat dianggap sebagai sudut trigonometri khusus. Kita sebut tinggi menara tersebut sebagai h. 

Tinggi menara / Jarak menara ke permukaan air = Tangen 30° 

h / 100 = (√3)/3

h = 100 × (√3)/3 

h = 57.74 meter 

Jadi, tinggi menara tersebut adalah sekitar 57.74 meter.

Contoh Soal 5

Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15° 

Jawab: 

2 cos 75° cos 15° = cos [75 +15]° + cos [75 – 15]° 

= cos 90° + cos 60° 

= 0 + ½ 

= ½

Baca Juga : Turunan Fungsi Trigonometri: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Sudah Paham Sudut Istimewa Trigonometri?

Itulah penjelasan mengenai sudut istimewa trigonometri beserta identitas trigonometri,  perbandingan trigonometri, dan contoh soalnya. Dengan membaca artikel ini, kamu tidak perlu bingung lagi menghadapi berbagai soal terkait sudut istimewa ini.

Namun, agar lebih mahir pastikan kamu belajar dan latihan mengerjakan soal setiap hari. Dengan begitu, kamu akan semakin pandai dalam materi ini.

Logika matematika menjadi topik yang sangat menarik untuk dibahas. Dengan adanya pembahasan tersebut, tentunya kamu bisa meningkatkan kemampuan berpikir dalam memecahkan masalah matematika yang terkadang cukup menantang. Terutama pembahasan logika tentang sejumlah contoh soal negasi.

Penasaran bagaimana cara penyelesaian persoalan negasi dalam matematika? Yuk, pahami cara pengerjaannya dan berlatihlah dalam berbagai contoh soal negasi dengan membaca artikel ini sampai selesai!

Pengertian Negasi dalam Logika Matematika

Sebelum membahas beberapa contoh soal negasi, alangkah baiknya kita perlu recall ingatan tentang apa itu negasi. Negasi atau ingkaran adalah operasi logika yang berguna untuk memberikan pernyataan berlawanan dari pernyataan yang sudah ada. 

Penyataan berlawanan di sini maksudnya adalah jika pernyataan yang bersifat positif dibuat negasinya, maka berubah menjadi pernyataan negatif, begitu pun sebaliknya. Lambang dari negasi ditandai dengan simbol “~”. Jika P adalah pernyataan yang ada, maka negasi pernyataan P terwakilkan dengan ~P. 

Contoh sederhananya, “Anjing milik Arjuna memiliki ekor berwarna hitam”. Kemudian, pernyataan negasinya adalah “Anjing milik Arjuna tidak memiliki ekor berwarna hitam”. Jadi, jika pernyataan yang sudah ada itu benar, maka negasi dari pernyataannya adalah salah. 

Sebaliknya, apabila pernyataan yang sudah ada itu salah, maka negasinya berupa pernyataan yang benar. Dari hal tersebut, dapat kamu pahami bahwa jika pernyataan yang telah dinegasikan lalu kamu lakukan negasi kembali, maka pernyataan yang sudah ada akan berubah menjadi P (sebelumnya ~(~P)).

Jika pernyataan benar adalah B, dan pernyataan salah adalah S, maka keterkaitannya contoh soal negasi pada P dan ~P ini dapat dengan mudah dipahami menggunakan tabel berikut:

P	~P	~(~P)
Benar	Salah	Benar
Salah	Benar	Salah

Aturan Menyelesaikan Contoh Soal Negasi

Berikut beberapa aturan untuk membuat negasi dari suatu pernyataan yang sudah ada:

1. Tulis pernyataan yang diberikan dengan kata “tidak” atau “bukan”. Contohnya, jumlah dari 2 dan 2 adalah 4. Sehingga, negasi dari pernyataan yang ada adalah jumlah 2 dan 2 bukan 4.
2. Buat modifikasi yang sesuai, di mana pernyataan melibatkan kata “semua” dan “beberapa”. Misalnya, “beberapa kuda tidak berwarna coklat”. Maka, bentuk negasi dari pernyataan tersebut adalah “semua kuda berwarna coklat”.
3. Mengubah operasi perbandingannya. Sebagai contoh, mengganti “=” dengan “”, simbol “<” dengan “”, atau simbol “” dengan “>”.

Contoh Soal Negasi dan Pembahasannya

Sesuai judul utama artikel ini, berikut ini adalah enam contoh soal negasi yang bisa kamu pahami:

1. Contoh Soal 1

Dari pernyataan-pernyataan berikut, tentukan negasinya:

1. Kambing bisa terbang.
2. Siswa-siswi SMA di Jakarta memakai baju batik pada hari Jumat.
3. Hari ini Semarang banjir.

Pembahasan:

Bentuk negasi dari pernyataan di atas menjadi:

1. Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
2. Tidak benar bahwa siswa-siswi SMA di Jakarta memakai baju batik pada hari Jumat.
3. Tidak benar bahwa hari ini Semarang banjir.

Atau bisa juga dengan format seperti ini:

1. Kambing tidak bisa terbang.
2. Siswa-siswi SMA di Jakarta tidak memakai baju batik pada hari Jumat.
3. Hari ini Semarang tidak banjir.

2. Contoh Soal 2

Tentukan negasi dari pernyataan contoh soal negasi berikut:

1. Semua dokter memakai jas putih saat bekerja.
2. Semua jenis burung bisa terbang.
3. Semua siswa mengikuti ujian kimia hari ini.

Pembahasan:

Berdasarkan pernyataan yang memuat kata “semua” dan “ setiap”, bentuk negasinya dapat memuat kata “beberapa” atau “ ada”. Contoh negasinya adalah sebagai berikut:

1. Beberapa dokter tidak memakai jas putih saat bekerja.
2. Ada jenis burung yang tidak bisa terbang.
3. Beberapa siswa tidak mengikuti ujian kimia hari ini.

3. Contoh Soal 3

Bentuk negasi dari pernyataan-pernyataan berikut adalah…

1. Ikan hanya bisa hidup di dalam air
2. Monyet pintar memanjat pohon

Pembahasan:

Cara menentukan negasi dapat membuat pernyataan yang benar menjadi pernyataan yang salah:

1. Ikan bisa hidup di darat
2. Monyet pintar menanam pohon

4. Contoh Soal 4

Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap. Mana bentuk negasinya yang benar? (Soal UN Matematika Tahun 2008)

1. Semua bilangan prima bukan bilangan genap
2. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
3. Semua bilangan prima adalah bilangan genap
4. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima
5. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

Penyelesaian:

Menyelesaikan contoh soal negasi ini sangatlah mudah. Dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” dapat diganti dengan kata semua, sehingga negasinya menjadi “semua bilangan prima bukan bilangan prima”. Jadi, jawaban yang tepat adalah A.

5. Contoh Soal 5

(Soal UN 2002) Negasi dari √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60° adalah…

1. Nilai √4 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60°
2. Nilai √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60°
3. Besar nilai √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45° > sin 60°
4. Nilai √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60°
5. Nilai √4 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60°

Penyelesaian:

√4 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45° < sin 60° dilambangkan dengan p ↔ q. Oleh sebab itu, ~(p ↔ q) p ↔ ~ q. Jawaban dari contoh soal ini adalah √4 < 4 jika dan hanya jika sin 45° ≥ sin 60° (B).

6. Contoh Soal 6

Jika x adalah variabel pengubah bilangan real, maka nilai x yang memenuhi agar pernyataan “Jika x² – 2x – 3 = 0 maka x² – x < 5” menjadi pernyataan yang salah adalah… (Contoh Soal Negasi Matematika Dasar SNMPTN 2009).

1. -1
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

Penyelesaian:

x² – 2x – 3 = 0 menjadi pernyataan P, sedangkan x² – x < 5 menjadi pernyataan Q. Nah, dua pernyataan tersebut akan bernilai salah jika P benar dan Q salah. Sehingga, penjabaran persamaan x² – 2x – 3 = 0 menjadi:

(x + 1) (x – 3) = 0

x = -1 atau x = 3

Dengan dua nilai hasil dari perhitungan, maka substitusikan pada pernyataan Q:

x = -1, nilai (-1)² – 1 < 5 (benar)

x = 3, nilai (3)² – 3 < 5 (Salah)

Jadi, nilai x yang cocok untuk menjawab contoh soal negasi ini adalah x = 3 (D).

Apa Pentingnya Memahami Contoh Soal Negasi?

Dalam artikel ini, kita telah membahas salah satu konsep logika matematika dan memberikan contoh soal negasi serta pembahasannya. Pada intinya, negasi adalah pengungkapan suatu pernyataan yang berlawanan.

Memahami konsep negasi dapat membantu kita untuk pembuktian teorema matematika dan analisis argumen secara logis dan baik dalam ilmu matematika. Oleh karena itu, pemecahan masalah yang kompleks dapat menjadi lebih sederhana dan mudah.

Ingatlah bahwa pemahaman konsep negasi adalah dasar penting dalam pemahaman pada percabangan bidang matematika seperti geometri, aljabar, dan logika. Beberapa penggunaan negasi juga terdapat dalam bidang ilmu bahasa. Fungsinya adalah untuk menyangkal pernyataan lawan bicara yang kiranya keliru. Dengan praktik dan upaya yang tepat dengan cara sering mengerjakan dan memahami contoh soal negasi, kamu bisa menguasainya dengan baik. Selamat berlatih!

Barisan aritmatika merupakan salah satu konsep fundamental dalam matematika yang sering berlaku dalam berbagai konteks, dari ilmu pengetahuan alam hingga dunia keuangan. Nah, supaya kamu bisa memahami konsepnya dengan lebih mendalam, kamu perlu berlatih sejumlah contoh soal barisan aritmatika.

Untungnya, dalam artikel ini, kamu akan melihat berbagai contoh soal barisan aritmatika yang akan membantu memperkuat pembelajaran terkait rumus umum, mencari suku ke-n, dan menyelesaikan masalah yang melibatkan konsep barisan. Baca sampai selesai, ya!

Apa Itu Barisan Aritmatika?

Barisan aritmatika adalah deret bilangan di mana setiap angka berikutnya didapat dengan menambahkan jumlah tetap ke angka sebelumnya. Adapun jumlah tetap disebut beda atau selisih antara dua angka berturut-turut dalam deret tersebut.

Misalnya, jika kamu memiliki urutan bilangan 2, 5, 8, 11, dan 14, maka beda atau konstanta dalam deret tersebut adalah 3. Dalam konteks ini, barisan aritmatika dapat diwakili sebagai U1, U1 + b, U1 + 2b, U1 + 3b, dan seterusnya hingga suku ke-n.

Dalam menyelesaikan suatu contoh soal barisan aritmatika, rumus yang digunakan adalah: 

Un = a1 + (n – 1) b

Sedangkan untuk mencari beda atau selisihnya (b), rumusnya adalah: 

b = Un – Un₋₁ 

Dalam rumus tersebut, Un adalah suku ke-n dalam deret aritmatika, sedangkan Un₋₁ adalah suku sebelumnya. Kemudian, a1 adalah suku pertama dalam deret, n adalah jumlah suku yang ingin ditemukan, dan b adalah beda atau selisih antara dua suku berturut-turut.

Baca Juga : Contoh Barisan dan Deret Aritmatika, Rumus, dan Pembahasannya

10 Contoh Soal Barisan Aritmatika dan Pembahasannya

Berikut ini adalah beberapa contoh soal barisan aritmatika dengan penyelesaian soalnya yang bisa Anda pelajari:

1. Contoh Soal 1

Temukan persamaan untuk suku umum dari deret aritmatika yang diberikan lalu gunakan untuk menghitung suku ke-20: 7, 5, 3, 1, …

Penyelesaian:

Mari terapkan rumus utama untuk mencari suku ke-20, lalu gantikan konstanta dengan nilai-nilai yang diketahui pada contoh soal barisan aritmatika ini:

Un = a1 + (n – 1) b

Un = 7 + (20 – 1) (-2)  = 7 + 19 (-2)  = 7 – 38 = -31

Jadi, suku ke-20 dalam barisan aritmatika ini adalah -31.

2. Contoh Soal 2

Dalam suatu barisan aritmatika berturut-turut, suku keempat dan kesepuluh adalah 21 dan 51. Maka, rumus untuk mencari suku ke-n dalam contoh soal barisan aritmatika ini adalah…

Penyelesaian:

• Langkah 1: Menentukan beda (b)

b = (51 – 21) / (10 – 4)

b = 30 / 6 = 5

• Langkah 2: Mencari suku pertama (a1)

Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a4 – (3 x b) karena suku keempat berada pada posisi ke-4.

a1 = 21 – (3 x 5)

a1 = 21 – 15 = 6

• Langkah 3: Mencari rumus umum untuk suku ke-n (Un)

Kamu bisa menggunakan rumus umum Un = a1 + (n – 1) x b untuk mencari suku ke-n.

Un = 6 + (n – 1) x 5

Un = 6 + 5n – 5 = 5n + 1

Jadi, rumus yang benar untuk mencari suku ke-n dalam barisan aritmatika ini adalah Un = 5n + 1.

3. Contoh Soal 3

Suku ke-6 dalam suatu barisan aritmatika adalah 24.000, dan suku ke-10 adalah 18.000. Untuk membuat suku ke-n menjadi nol, nilai n harus diisi dengan angka berapa?

Penyelesaian:

Dalam menyelesaikan contoh soal barisan aritmatika ini, diberikan informasi bahwa suku ke-6 adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Kamu akan menggunakan informasi ini untuk mencari nilai n ketika suku ke-n menjadi nol.

• Langkah 1: Menentukan beda (b)

Kamu bisa menggunakan rumus b = (a10 – a6) / (10 – 6) untuk mencari beda.

b = (18.000 – 24.000) / (10 – 6)

b = -6.000 / 4 = -1.500

• Langkah 2: Mencari suku pertama (a1)

Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a6 – (5 x b) karena suku ke-6 berada pada posisi ke-6.

a1 = 24.000 – (5 x -1.500)

a1 = 24.000 + 7.500 = 31.500

• Langkah 3: Mencari nilai n ketika suku ke-n menjadi nol

Untuk membuat suku ke-n menjadi nol, kamu perlu menyelesaikan persamaan Un = 0 dengan menggunakan rumus umum Un = a1 + (n – 1) x b.

0 = 31.500 + (n – 1) x -1.500

0 = 31.500 – 1.500n + 1.500

1.500n = 33.000

n = 33.000/ 1.500

n = 22

Jadi, untuk membuat suku ke-n menjadi nol, nilai n harus diisi dengan angka 22.

4. Contoh Soal Barisan Aritmatika 4

Temukan nilai suku ke-25 dari rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3.

Penyelesaian:

Untuk mencari suku ke-25, kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3, yaitu Un = 3n. Gantikan nilai n dengan 25:

U25 = 3 x 25

U25 = 75

Jadi, nilai suku ke-25 dari rangkaian bilangan asli yang merupakan kelipatan 3 adalah 75.

5. Contoh Soal 5

Dalam segitiga siku-siku, panjang sisi-sisi membentuk sebuah barisan aritmatika. Jika sisi terpendek memiliki panjang 24 cm, berapakah panjang sisi siku-siku yang lain pada contoh soal barisan aritmatika tersebut?

Penyelesaian:

Jika panjang sisi terpendek dalam segitiga siku-siku adalah 24 cm dan panjang sisi-sisi membentuk sebuah barisan aritmatika, maka kamu bisa mencari panjang sisi siku-siku yang lain.

Dalam barisan aritmatika, suku pertama (a1) adalah 24 cm. Nah, kamu perlu mencari beda (b) antara suku-suku dalam barisan. Misalkan panjang sisi siku-siku yang lain adalah Un. 

Dalam hal ini, kamu ingin mencari Un ketika n = 2 (karena sisi terpendek adalah suku ke-1). Kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:

Un = a1 + (n – 1) x b

Kemudian, substitusikan nilai yang diketahui:

Un = 24 + (2 – 1) x b

Un = 24 + b

Karena Un adalah panjang sisi siku-siku yang lain, kamu bisa menyimpulkan bahwa Un adalah suku kedua dalam barisan.

Dalam barisan aritmatika, suku kedua (Un) adalah 32 cm. Jadi, panjang sisi siku-siku yang lain adalah 32 cm.

6. Contoh Soal Barisan Aritmatika 6

Cari nilai suku tengah dalam barisan bilangan 9, 11, 13, 15, 17, …, 69.

Penyelesaian:

• Langkah 1: Menentukan jumlah suku

Dalam barisan ini, suku pertama (a1) adalah 9 dan suku terakhir (an) adalah 69. Kamu perlu mencari jumlah suku dalam barisan tersebut. Kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:

an = a1 + (n – 1) x b

Kemudian, substitusikan nilai yang diketahui:

69 = 9 + (n – 1) x 2

Setelah itu, sederhanakan persamaan tersebut:

60 = (n – 1) x 2

30 = n – 1

n = 31

Jadi, jumlah suku dalam barisan adalah 31.

• Langkah 2: Mencari suku tengah

Karena jumlah suku bernilai ganjil, maka suku tengah berada pada posisi ke-(n+1)/2 = (31+1)/2 = 16.

Kamu bisa mencari suku tengah dengan menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmatika:

Un = a1 + (n – 1) x b

Lalu, substitusikan nilai yang diketahui:

U16 = 9 + (16 – 1) x 2

U16 = 9 + 15 x 2 = 9 + 30 = 39

Jadi, nilai suku tengah dalam barisan bilangan 9, 11, 13, 15, 17, …, 69 adalah 39.

7. Contoh Soal 7

Ada sebuah barisan aritmetika di mana suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. Temukan nilai suku pertama dan beda dalam contoh soal barisan aritmatika tersebut. Selain itu, tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut, dan tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut!

Penyelesaian:

• Langkah 1: Menentukan beda (b)

Kamu bisa menggunakan rumus b = (a8 – a5) / (8 – 5) untuk mencari beda.

b = (29 – 14) / (8 – 5)

b = 15 / 3 = 5

• Langkah 2: Menentukan suku pertama (a1)

Dalam hal ini, kamu bisa menggunakan rumus a1 = a5 – (4 x b) karena suku ke-5 berada pada posisi ke-5.

a1 = 14 – (4 x 5)

a1 = 14 – 20 = -6

• Langkah 3: Menentukan suku ke-12

Untuk mencari suku ke-12 (a12), kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika: Un = a1 + (n – 1) x b.

a12 = -6 + (12 – 1) x 5

a12 = -6 + 11 x 5 = -6 + 55 = 49

Jadi, suku ke-12 (a12) adalah 49.

• Langkah 4: Menentukan sepuluh suku pertama

Untuk menentukan sepuluh suku pertama, kamu bisa menggunakan rumus umum untuk suku ke-n dalam barisan aritmetika. Dengan menggunakan rumus umum, kamu bisa menentukan sepuluh suku pertama pada contoh soal barisan aritmatika tersebut sebagai berikut:

a1 = -6

a2 = -6 + 5 = -1

a3 = -6 + 2 x 5 = 4

a4 = -6 + 3 x 5 = 9

a5 = -6 + 4 x 5 = 14

a6 = -6 + 5 x 5 = 19

a7 = -6 + 6 x 5 = 24

a8 = -6 + 7 x 5 = 29

a9 = -6 + 8 x 5 = 34

a10 = -6 + 9 x 5 = 39

Jadi, sepuluh suku pertama dalam barisan ini adalah -6, -1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39.

8. Contoh Soal 8

Temukan suku ke-n dari urutan aritmatika -5, -7/2, -2, ….

Penyelesaian:

Urutan yang diberikan adalah -5, -7/2, -2, …

Di sini, suku pertama adalah a = -5, dan perbedaan umumnya adalah, d = -(7/2) – (-5) = -2 – (-7/2) = … = 3/2.

Suku ke-n dari urutan aritmatika diberikan oleh

an = a1 + (n−1)d = -5 +(n – 1) (3/2)

an = -5+ (3/2)n – 3/2 = 3n/2 – 13/2

Jadi, suku ke-n dari urutan aritmatika yang diberikan adalah an = 3n/2 – 13/2.

9. Contoh Soal Barisan Aritmatika 9

Apakah -248 merupakan salah satu suku dari urutan aritmatika -3, -8, -13, -18,…?

Penyelesaian:

Urutan aritmatika yang diberikan adalah -3, -8, -13, -18,…

Kemudian, istilah pertama adalah a = -3 di mana perbedaan umumnya adalah, d = -8 – (-3) = -13 – (-8) = … = -5. 

Hal ini mengingat bahwa istilah ke-n adalah, an = -248. Maka, ganti semua nilai ini dalam suku ke-n dari rumus urutan aritmatika:

an = a1 + (n−1)d 

-248 = -3 + (-5)(n – 1)

-248 = -3 -5n + 5 ⇒ -248 = 2 – 5n ⇒ -250 = -5n

 n = 50

Jadi, -248 adalah suku ke-50 dari contoh soal barisan aritmatika tersebut.

10. Contoh Soal 10

Temukan suku ke-20 alam ekspresi yang diberikan an=(n-1)(2-n)(3+n)!

Penyelesaian:

Untuk mencari nilai suku ke-20 (a20) dalam ekspresi pada an=(n-1)(2-n)(3+n), kamu bisa menggantikan nilai n dengan 20 dalam ekspresi tersebut:

a20 = (20-1)(2-20)(20+3)

a20 = 19 x (-18) x 23 = -7.886

Jadi, nilai suku ke-20 (a20) dalam ekspresi tersebut adalah -7.886..

Baca Juga : Deret Geometri: Definisi, Rumus, Jenis, dan Contoh Soalnya

Sudah Paham dengan Contoh Soal Barisan Aritmatika di Atas?

Dalam perjalanan kamu untuk mempelajari barisan aritmatika dan menyelesaikan contoh soal barisan aritmatika di atas, kamu telah menggali pemahaman yang lebih dalam tentang konsep tersebut. Melalui penerapan rumus-rumus yang relevan dan pemecahan masalah yang sistematis.

Kamu bisa menentukan suku-suku dalam barisan aritmatika dan menghitung nilai-nilai yang kamu perlukan. Pemahaman ini akan membantu kamu dalam memecahkan masalah matematika yang melibatkan barisan aritmatika di masa depan.

Pernahkah kalian mendengar teori peluang? Konsep teori peluang dalam matematika digunakan untuk memprediksi kemungkinan pada suatu peristiwa yang sedang berlangsung. Dalam teori peluang, salah satunya adalah peluang kejadian majemuk yang dapat memprediksi dua bahkan lebih kemungkinan yang akan terjadi. 

Lalu, bagaimana cara mengerjakan peluang kejadian majemuk dalam soal matematika? Yuk, simak penjelasannya berikut ini!

Pengertian Peluang Kejadian Majemuk 

Sesuai namanya, peluang kejadian majemuk digunakan sebagai cara untuk memprediksi tidak hanya satu kejadian saja, namun bisa dua atau lebih secara bersamaan. Jadi, kamu bisa mengetahui seberapa besar kemungkinan tersebut bisa terjadi. 

Misalnya, dalam suatu kotak mainan terdapat banyak bola warna-warni. Kemudian, kamu mengambil bola tersebut secara acak. Maka, konsep peluang dapat digunakan untuk mengetahui kira-kira peluang warna apa saja yang dapat terambil.  

Kejadian majemuk mencakup dua hal utama, yaitu:

• Irisan dua kejadian yang memiliki tanda “೧” dan identik dengan kata “dan”.
• Gabungan dua kejadian yang memiliki tanda “∪” dan identik dengan kata “atau”.

Jenis Peluang Kejadian Majemuk

Peluang kejadian majemuk ini memiliki 4 jenis, yaitu kejadian yang saling lepas, kejadian yang saling tidak lepas, kejadian yang saling bebas, dan kejadian yang saling tidak bebas. Apa perbedaan di antara keempat jenis peluang ini? Yuk, cari tahu!

1. Kejadian Majemuk Saling Lepas

Jenis yang pertama yaitu kejadian majemuk saling lepas. Sederhananya, terdapat dua kejadian A dan B namun tidak saling terkait atau tidak ada persekutuan. Jadi, pada intinya, kejadian majemuk saling lepas tidak memiliki irisan. 

Perhatikan diagaram venn di bawah ini!

(Diagram Venn Kejadian Majemuk Saling Lepas | Sumber gambar: pijarbelajar.id) 

Dari diagram venn di atas, terlihat jelas bahwa A dan B pada semesta (S) dikatakan saling lepas atau tidak terkait satu sama lain. Maka, keduanya tidak memiliki irisan atau sama dengan nol. Dalam hal ini dituliskan dengan n(A೧B)=0.

Keterangan:

Semesta (S) = {1,2, 3, 4, 5, 6}

Bilangan ganjil (A) = {1, 3, 5}

Bilangan genap (B) = {2, 4, 6}

Banyaknya kejadian masing-masing dapat dituliskan menggunakan simbol seperti di bawah ini:

n(S) = 6

n(A) = 3

n(B) = 3 

Jadi, rumus yang digunakan untuk menghitung peluang kejadian majemuk saling lepas dari setiap kejadian A dan B yaitu:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Sehingga, untuk menghitung nilai peluang A dan peluang B dengan rumus tersebut menjadi:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

P(A∪B) = ½ + ½

P(A∪B) = 1

Maka, bisa dikatakan peluang gabungan A dan B adalah 1. 

2. Kejadian Majemuk Tidak Saling Lepas

Jika  terdapat elemen pada kejadian A dan B yang beririsan, maka disebut dengan kejadian majemuk tidak saling lepas. Kejadian ini memang kebalikan dari kejadian majemuk saling lepas yang tidak memiliki irisan sama sekali. Maka, irisan A dan B pada kejadian majemuk tidak saling lepas tidak sama dengan 0 atau n(A೧B) ≠ 0.

Adapun rumus untuk peluang kejadian majemuk saling tidak lepas yaitu:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A೧B)

3. Kejadian Majemuk Saling Bebas

Selanjutnya, peluang kejadian majemuk saling bebas adalah peluang di mana peluang terjadinya suatu kejadian (A) yang tidak terpengaruh dengan kejadian lainnya (B). Begitupun juga sebaliknya. Dengan kata lain, dua kejadian tersebut berlangsung secara independen. 

Rumus untuk peluang kejadian majemuk saling lepas yaitu:

P(A೧B) = P(A) x P(B)

4. Kejadian Majemuk Tidak Saling Bebas

Jenis peluang yang terakhir yaitu kejadian majemuk tidak saling bebas atau juga disebut sebagai peluang kejadian majemuk bersyarat. Sederhananya, tidak saling bebas terjadi jika ada dua kejadian yang berbeda yang kemungkinan kejadiannya ditentukan dengan kejadian lainnya. 

Rumus untuk menentukan peluang tidak saling bebas yaitu:

P(A೧B) = P(A) x P(B\A)

Contoh Soal & Pembahasan

Berikut adalah latihan soal untuk mengasah tingkat pemahaman mengenai peluang kejadian majemuk. 

Soal 1 

Tentukan peluang munculnya mata dadu ganji atau prima dalam pelemparan sebuah mata dadu!

Jawaban: b. 

Pembahasan: Kejadian A adalah munculnya mata dadu ganjil dan kejadian B yaitu munculnya mata dadu prima. 

Dalam soal ini, terdapat 2 anggota yang beririsan, sehingga dapat menggunakan rumus peluang kejadian majemuk tidak saling lepas dengan rumus sebagai berikut:

Maka, jawaban yang benar adalah ⅔. 

Soal 2

Di dalam sebuah kotak terdapat 2 bola kuning dan 3 bola biru. Beni mengambil dua bola satu per satu tanpa pengembalian. Jika pada pengambilan pertama Beni mendapatkan bola biru dengan peluang pengambilan 3/5, maka berapakah peluang terambilnya bola berwarna kuning pada pengambilan kedua?

Jawaban: c.

Pembahasan: 

Dalam soal ini, kamu dapat menggunakan rumus peluang kejadian majemuk tidak saling bebas dengan menggunakan rumus P(A೧B) = P(A) x P(B|A).

P(A)= 3/5, yang perlu dicari terlebih dahulu adalah P(B|A) untuk mengetahui P(A೧B). 

P(A೧B) = P(A) x P(B|A)

Soal 3

Di suatu kelas terdapat 45 siswa. Dari jumlah siswa tersebut, 28 siswa suka bahasa Inggris, 22 siswa suka Matematika, dan 10 siswa suka kedua-duanya. Jika seorang siswa terpilih secara acak, tentukan peluang siswa yang terpilih adalah yang menyukai Matematika atau bahasa Inggris!

Jawaban: a.

Pembahasan: 

• n(S) = 45
• n(A), siswa suka Matematika = 28
• n(B), siswa suka Bahasa Inggris = 22
• n(A೧B), suka keduanya = 10 

Sehingga, peluang terpilih yang suka Matematika atau Bahasa Inggris adalah:

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A೧B)

Soal 4

Selin melempar dua buah mata dadu yang memiliki nilai semesta 36. Hitung peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 2 atau 4!

Jawaban: d.

Pembahasan: 

• n(S) = 36
• n(A) = 1
• n(B) = 3

Soal ini mengunakan rumus peluang kejadian saling lepas, maka:

P(A∪B) = P(A) + P(B)

P(A) = n(A)/n(S) = 136 

P(B) = n(B)/n(S) = 336

Sehingga

P(A∪B) = P(A) + P(B)

= 136 + 336

= 436 = 19

Maka, peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 2 atau 4 yaitu  19.

Jadi, Sudah Paham dengan Peluang Kejadian Majemuk?

Itu tadi penjelasan mengenai peluang kejadian majemuk yang bisa kamu pelajari beserta latihan soalnya. Semoga artikel ini membantumu untuk memahami materi peluang. Terus berlatih dengan mengerjalan latihan soal supaya makin paham.

Dalam ilmu Fisika, kamu akan mempelajari titik berat serta rumus titik berat dan konsepnya. Materi titik berat berkaitan erat dengan berbagai jenis benda dan bentuk benda, baik yang berdimensi satu, dua maupun tiga. 

Supaya kamu tidak bingung dan penasaran, yuk kita simak penjelasannya di sini!

Apa Itu Titik Berat?

Titik berat bisa kita artikan sebagai titik tertentu pada benda. Titik tersebut merupakan tempat dimana gaya berat benda dapat bekerja dengan sangat efektif. Dengan kata lain, bagian tersebut adalah tempat resultan gaya berat pada suatu benda bekerja.

Setiap benda di dunia ini, baik itu yang memiliki satu dimensi, dua dimensi, hingga tiga dimensi, punya titik beratnya sendiri-sendiri. Artinya, tiap benda pun juga punya rumus titik berat yang tentu juga berbeda.

Ada tiga kategori keseimbagan letak titik berat suatu benda, yaitu:

1. Keseimbangan stabil

Ketika kamu beri gangguan pada benda dan titik berat benda tersebut naik.

2. Keseimbangan labil

Pada saat kamu beri gangguan pada benda dan titik berat benda turun.

3. Indifferen

Saat kamu beri gangguan pada benda dan titik berat benda tetap.

Ini Konsep Rumus Titik Benda!

Coba perhatikan gambar berikut lebih dulu!

Ada sebuah benda dengan berat tertentu. Rumus titik berat benda tersebut bisa kamu tulis sebagai berikut.

X₀ = X1W1 + X2W2 + X3W3W1 + W2 + W₃

Y₀ = Y1W1 + Y2W2 + Y3W3W1 + W2 + W₃

Keterangan:

• X₀ = titik pusat dari sumbu (x),
• Y₀ = titik pusat dari sumbu (y),
• X1 = titik absis berat pertama,
• Y1 = titik ordinat berat pertama,
• X2 = titik absis berat kedua,
• Y2 = titik ordinat berat kedua,
• X3 = titik absis berat ketiga,
• Y3 = titik ordinat berat ketiga,
• W1 = berat pertama,
• W2 = berat kedua,
• W3 = berat ketiga.

Nah, inilah konsep yang mendasari penentuan berat benda berdimensi satu, berdimensi dua, ataupun berdimensi tiga.

Rumus Titik Berat Benda Berdimensi Satu

Benda seperti kawat dan lidi sapu adalah contoh dari benda berdimensi satu. Konsep yang perlu kita ketahui dalam mengetahui berat benda berdimensi satu adalah beratnya berpusat di panjangnya saja. Pahami sejumlah rumus untuk menentukan titik berat benda dengan dimensi satu di bawah ini. 

1. Garis Lurus

Jika ada dua ujung garis lurus, kita sebut (A) dan (B), maka letak titik beratnya adalah:

Y₀ =½ AB

2. Busur Lingkaran

Busur lingkaran punya rumus yang berbeda dengan garis lurus. Jika (R) adalah jari-jari, maka rumus titik berat dari busur lingkaran adalah:

Y₀ = AB* : AB x R, AB* = tali busur AB, AB = busur AB

3. Burus Setengah Lingkaran

Letak titik berat dari busur setengah lingkaran dapat kamu ketahui dari rumus berikut ini:

Y₀ = 2R : 𝜋, R = jari-jari lingkaran, 𝜋 = pi (3,14 atau 227).

Rumus Titik Berat Benda Berdimensi Dua (Luas)

Kalau kita bicara tentang benda yang memiliki dimensi berjumlah dua, benda tersebut sudah pasti memiliki panjang dan lebar.

Ada banyak sekali bentuk dua dimensi yang pasti kamu ketahui, seperti persegi, persegi panjang, segitiga, segi lima, segi enam, trapesium, atau jajar genjang.

Nah, titik berat dari benda berdimensi dua tersebut bisa kita ketahui dari luas bendanya. Konsep untuk mencari titik beratnya masih sama seperti konsep yang sudah kita bahas di awal.

1. Segitiga

Rumus untuk menentukan titik berat dari segitiga yaitu:

Y₀ = ⅓ t, t = tinggi segitiga.

Baca Juga : Apa Itu Titik Berat Segitiga? Pengertian, Cara Menentukan dan Contoh Soal

2. Persegi, Persegi Panjang, Jajar Genjang, dan Belah Ketupat

Semua benda yang memiliki empat segi seperti persegi, persegi panjang, jajar genjang, dan belah ketupat punya rumus titik berat yang sama. Rumusnya yaitu:

Y₀ = ⅓ t atau ½ L, 

Keterangan:

• t = tinggi jajar genjang dan belah ketupat, 
• L = lebar persegi dan persegi panjang.

3. Bidang Juring Lingkaran

Berikut adalah cara mencari titik berat dari benda dua dimensi juring lingkaran:

Y₀ = ⅔ R x tali busur ABbusur AB, 

Dengan (R)  mewakili jari-jari lingkaran.

4. Bidang Setengah Lingkaran

Cara mencari titik berat dari bidang setengah lingkaran adalah dengan rumus berikut:

Y₀ = 4R3𝛑 R, 

Dengan (R)  mewakili jari-jari lingkaran.

Baca Juga : Titik Berat Trapesium: Pengertian, Jenis, Rumus, dan Contoh Soal

Rumus Titik Berat Benda Berdimensi Tiga (Volume)

Untuk mengetahui titik berat dari semua benda yang memiliki dimensi tiga, kamu harus mencari tahu volumenya terlebih dahulu. Ada banyak jenis benda yang termasuk berdimensi tiga. Contohnya adalah kubus, balok, tabung, limas, prisma, dan kerucut. Di bawah ini adalah beberapa rumus titik berat pada benda dimensi tiga.

1. Kerucut Pejal

Berikut adalah cara untuk mengetahui volume dan letak titik berat pada kerucut pejal:

V = ⅓ 𝛑 R², 

• dengan 𝛑 = pi (3,14 atau 227), 
• dan R = jari-jari alas kerucut.

Y₀ = ¼ t, 

dengan t = tinggi dari kerucut pejal.

2. Silinder Pejal

Cara untuk mengetahui volume dan letak titik berat silinder pejal adalah sebagai berikut:

V = 𝛑 R² t, 

• dengan 𝛑 = pi (3,14 atau 227), 
• R = jari-jari alas silinder, dan 
• t = tinggi dari silinder pejal.

Y₀ = ½ t, 

dengan t = tinggi dari silinder pejal.

3. Bola Pejal

Di bawah ini adalah volume dan rumus titik berat dari bola pejal:

V = ¾ 𝛑 R³, 

• dengan 𝛑 = pi (3,14 atau 227), dan 
• R = jari-jari alas bola pejal

Y₀ = R, 

dengan R = jari-jari bola pejal.

4. Setengah Bola Pejal

Cara untuk mencari volume dan rumus titik berat dari setengah bola pejal adalah sebagai berikut:

V = ⅔ 𝛑 R³, 

• dengan 𝛑 = pi (3,14 atau 227), 
• dan R = jari-jari alas setengah bola pejal.

Y₀ = 38 R, 

dengan R = jari-jari setengah bola pejal.

Contoh Soal Rumus Titik Berat

Kamu bisa mencoba mengulik tentang rumus-rumus di atas menggunakan tiga contoh soal di bawah ini. Perhatikan juga pembahasannya supaya kamu bisa lebih baik memahaminya. 

1. Soal 1

Temukan titik berat pada lidi dengan panjang 30 cm!

Pembahasan

Y₀ =½ AB

Y₀ =½ x 30 cm

sehingga, Y₀ =15 cm

Jadi, lokasi titik berat pada lidi dengan panjang 30 cm adalah 15 cm (di tengah lidi).

2. Soal 2

Temukan titik berat pada segitiga dengan tinggi 15 cm!

Pembahasan

Y₀ = ⅓ t

Y₀ = ⅓ x 15 cm

sehingga, Y₀ = 5 cm

Jadi, lokasi titik berat pada segitiga dengan tinggi 15 cm adalah di ketinggian 5 cm dari alas segitiga.

3. Soal 3

Temukan volume dan titik berat pada bola dengan jari-jari 7 cm!

Pembahasan

V = ¾ 𝛑 R³

V = ¾ x 227 x 7³

Maka, V = ¾ x 22 x 7²

V = 808,5 cm³.

Titik berat = R = 7 cm

Jadi, volume bola pejal dengan jari-jari 7 cm adalah 808,5 cm³ dan titik beratnya 7 cm.

Yuk, Pelajari Rumus Titik Berat!

Meskipun rumus titik berat cukup banyak dan berbeda sesuai dengan dimensi benda yang akan kamu ukur titik beratnya, sebetulnya rumus tersebut berasal dari satu konsep yang sama. 

Perhatikan unsur apa saja yang kamu perlukan untuk mengukur benda sesuai dengan dimensinya agar kamu bisa menerapkan rumus perhitungan yang tepat.

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yang merupakan bagian dari ilmu Matematika di jenjang SMA memang merupakan salah satu materi yang cukup sulit.  Tapi, kalau kamu bisa menguasainya dengan baik, ilmu ini bisa kamu manfaatkan dalam banyak aspek kehidupan, lo!

Simak penjelasan materi persamaan linear yang spesifik ini lewat pembahasan berikut!

Apa Itu Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)?

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah salah satu konsep Matematika yang menjelaskan relasi atau persamaan linear yang masing-masing memiliki tiga variabel, misalnya (x), (y), dan (z).

Apa contoh penerapan dari konsep sistem persamaan linier tiga variabel?

Kamu bisa mengambil contoh ketika membeli beberapa kebutuhan pokok di warung, seperti kopi, garam, dan gula.

Ketika membeli ketiga barang tersebut, kamu tidak memperhatikan harga masing-masing barang Tetapi, kamu hanya mengambil sesuai kebutuhan (misalnya dalam satuan gram atau kilogram) dan membayar harga yang disebutkan penjaga warung. 

Ketika sampai rumah, kamu ingin mengetahui berapa harga kopi, garam, dan gula per satuannya. Nah, kamu bisa mencari tahu harga barang-barang tersebut kalau memahami konsep sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

Sebenarnya, SPLTV memiliki konsep yang mirip dengan sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV). Hanya saja, di SPLTV l, jumlah variabel yang terlibat lebih banyak.

Agar lebih jelas, kamu bisa melihat bentuk umum SPLTV) di bawah ini.

Jika kamu tulis bentuk tersebut ke dalam soal, maka bentuknya adalah sebagai berikut:

x + y – z = 4

3x – y + 2z = 9

x + 2y – z = 6

Nah, bagaimana cara kamu untuk mencari tahu nilai (x), (y), dan (z), jika diketahui tiga persamaan di atas? Yuk, kamu simak pembahasan bagian dari materi berikutnya agar kamu makin paham tentang materi ini!

Baca Juga : Persamaan Linear Dua Variabel: Metode Grafik dan Substitusi

Ciri-ciri Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Agar kamu mudah untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan persamaan linear spesifik ini, kamu harus tahu dahulu apa saja ciri-ciri dari SPLTV dalam rincian di bawah ini. 

• Sistem persamaan linier tiga variabel menggunakan tanda sama dengan (=) untuk relasinya.
• Memiliki tiga variabel, biasanya dilambangkan dengan huruf (x), (y), dan (z).
• Ketiga variabel tersebut berpangkat satu.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, Bagaimana Caranya?

Ada dua cara untuk menyelesaikan permasalahan yang membutuhkan konsep sistem SPLTV, yaitu dengan cara eliminasi dan substitusi. Bagaimana langkah menggunakan kedua cara tersebut? Lalu, kira-kira cara mana yang lebih mudah? Langsung saja kamu cari tahu!

1. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah cara pertama yang bisa kamu pakai untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

Konsep dari metode eliminasi ini adalah kamu bisa menghilangkan salah satu dari tiga variabel yang tersedia, baik itu variabel (x), (y), dan (z). Kamu bisa memilih dengan bebas.

Agar kamu dapat bayangan cara pengaplikasian metode ini, langsung saja gunakan contoh soal yang sudah kamu sempat lihat di atas.

x + y – z = 4 (persamaan 1)

3x – y + 2z = 9 (persamaan 2)

x + 2y – z = 6 (persamaan 3)

Agar kamu bisa mengetahui nilai (x), (y), dan (z), kamu bisa mengeliminasi salah satu variabel agar lebih mudah menemukan variabel lainnya. Misal, kamu ingin menghapus variabel (y). Ambil 2 persamaan.

x + y – z = 4 (persamaan 1)

3x – y + 2z = 9 (persamaan 2)

Kamu bisa eliminasi variabel (y) dengan cara menambahkan kedua persamaan tersebut. Mengapa? Alasannya karena y + (-y) akan habis. 

Jadi, kamu akan mendapatkan persamaan linier dua variabel baru, yaitu:

4x + z = 13

Kemudian, kamu ambil kembali 2 persamaan tiga variabel yang lain. Misalnya persamaan 2 dan 3.

3x – y + 2z = 9 (persamaan 2)

x + 2y – z = 6 (persamaan 3)

Sama dengan mencari sistem persamaan linier dua variabel sebelumnya, kamu bisa mengeliminasi variabel manapun. Agar mudah, kamu coba eliminasi variabel (y).

Eliminasi variabel tersebut dengan cara mengali dua persamaan yang ke-2. Maka, bentuk rumusnya adalah seperti berikut ini. 

6x – 2y + 4z = 18 (persamaan 2)

x + 2y – z = 6 (persamaan 3)

Kemudian, kamu bisa tambahkan kedua persamaan tersebut. 

Mengapa? karena -2y + 2y akan habis sehingga, kamu akan memperoleh persamaan linier dua variabel baru, yaitu:

7x + 3z = 24

Kamu sudah dapat dua persamaan linier dua variabel, yaitu 

4x + z = 13, dan

7x + 3z = 24. 

Setelah ini, kamu bisa melakukan konsep eliminasi kembali untuk memperoleh variabel (x), dan (z)

Ambil contoh penggunaan variabel (x). Setelah kamu hitung, kamu akan memperoleh nilai (x) adalah 3.

2. Metode Subtitusi

Ayo, coba kamu ingat-ingat lagi. Metode subtitusi juga sudah pernah kamu pakai untuk menyelesaikan konsep sistem persamaan linier dua variabel. Masih ingat?

Nah, metode subtitusi ini ternyata juga berlaku untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel.

Langsung saja, tadi kamu sudah dapat nilai x =3 saat melakukan metode eliminasi. Yuk, kembali ke persamaan linier dua variabel yang sudah kamu dapatkan. Misalnya, kamu pakai 4x + z = 13.

Kamu sudah tau kalau x = 3. Sekarang, kamu bisa mencari tahu nilai (z).

4x + z = 13.

4(3) + z = 13

12 + z = 13

z = 1

Nah, sekarang kamu sudah tahu kalau nilai x = 3, dan z = 1. Maka, yang perlu kamu lakukan setelahnya adalah mencari nilai (y).

Kembali ke soal awal sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

x + y – z = 4 (persamaan 1)

3x – y + 2z = 9 (persamaan 2)

x + 2y – z = 6 (persamaan 3)

Ambil persamaan 1 saja karena bentuk persamaannya paling sederhana. Ingat, kamu sudah tahu nilai (x) dan (z). Sekarang kamu tinggal masukkan ke persamaannya

x + y – z = 4

3 + y – 1 = 4

2 + y = 4

y = 2

Jadi, nilai (x), (y), dan (z) pada persamaan linear tiga variabel berikut adalah (3, 2, 1). Himpunan penyelesaiannya bisa kamu tulis sebagai berikut:

Hp = { (3, 2, 1) }

Bagaimana, cukup panjang bukan? Meskipun terkesan panjang tapi, cara ini sebetulnya sangat sederhana dan bisa kamu pelajari pelan-pelan secara konsisten. 

Apalagi, kalau kamu sudah menguasai sistem persamaan linier dua variabel, kamu akan cepat menguasai konsep sistem SPLTV ini.

Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel 

Perhatikan contoh soal dan pembahasan tentangn SPLTV berikut ini dengan cermat supaya kamu bisa cepat memahami dan menguasai materi ini. 

Soal 

Temukan berapa nilai (x), (y), dan (z) pada persamaan berikut:

2x – y + z = 6 (persamaan 1)

x – 3y + z = -2 (persamaan 2)

x +2y – z = 3 (persamaan 2)

Pembahasan

Pertama, kamu pakai cara eliminasi. kamu akan ambil persamaan 1 dan 2.

2x – y + z = 6 (persamaan 1)

x – 3y + z = -2 (persamaan 2)

Kemudian, kurangi persamaan 1 dan 2 agar (z) habis. Maka, kamu akan mendapatkan persamaan dua variabel berikut.

x + 2y = 8 ….. (1)

Lalu, kamu ambil lagi persamaan 1 dan 3.

2x – y + z = 6 (persamaan 1)

x +2y – z = 3 (persamaan 3)

Jumlahkan persamaan 2 dan 3 agar (z) habis. Kemudian, kamu mendapatkan persamaan dua variabel berikut.

3x + y = 9 ….. (2)

Nah, sekarang kamu sudah punya x + 2y = 8 dan 3x + y = 9, kamu bisa mencari (x), atau pun (y) . Coba kamu cari (x), dengan mengkalikan dua persamaan linear dua variabel yang kedua.

x + 2y = 8

3x + y = 9 (x2) > 6x + 2y = 18

Kemudian, kamu bisa kurangi kedua variabel tersebut. Dengan begitu, kamu akan akan memperoleh hasil 5x = 10. Maka, x = 2.

Kemudian, karena x = 2, kamu juga akan mengetahui kalau y = 3. Nah, sekarang kamu tinggal mencari (z). Untuk memprosesnya, gunakan variabel pertama.

2x – y + z = 6

2(2) – 3 + z = 6

4 – 3 + z = 4

z = 5

Baca Juga : Pertidaksamaan Linear: Pengertian, Sistem, Bentuk Umum, Contoh

Yuk, Belajar Persamaan Linear Tiga Variabel!

Memahami sistem persamaan linear tiga variabel memang bisa terlihat menjemukan, tetapi konsep SPLTV ini dapat kamu terapkan dalam urusan-hitung menghitung di kehidupan nyata. Cara penyelesaiannya memang lebih panjang, tetapi efektif untuk kamu pelajari dan kuasai.