Category: Matematika

Rumus garis singgung persekutuan dalam adalah salah satu konsep penting dalam matematika. Fungsi dari rumus ini adalah untuk memahami hubungan antara dua lingkaran atau kurva.

Artikel ini akan membahas tentang garis singgung persekutuan tersebut secara lebih mendalam beserta rumus dan contoh soal untuk memahaminya lebih baik. Yuk, simak dengan seksama!

Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang bersentuhan atau memotong lingkaran pada satu titik spesifik di permukaan lingkaran tersebut. 

Dalam garis singgung terdapat titik singgung. Titik singgung sendiri merupakan titik pertemuan dengan objek atau bentuk yang bersentuhan dengannya.

Garis ini memiliki sifat khusus yang penting dalam geometri dan matematika. Umumnya, garis singgung sering digunakan dalam berbagai hal seperti perhitungan jarak, konstruksi geometris, dan pemecahan masalah matematika.

Ada dua jenis garis singgung lingkaran. Pertama, garis singgung luar, yakni garis yang menyentuh kedua lingkaran secara eksternal. Garis ini tidak memotong atau memasuki bagian lingkaran manapun. Panjang garis singgung luar ini sama dengan jari-jari lingkaran.

Kedua, garis singgung dalam, yakni garis yang menyentuh kedua lingkaran secara internal. Pada garis ini juga tidak memotong atau memasuki bagian lingkaran mana pun. Panjang garis singgung dalam ini juga sama dengan jari-jari lingkaran.

Karakteristik Garis Singgung Lingkaran

Adapun karakteristik garis singgung pada lingkaran adalah sebagai berikut.

1. Garis singgung lingkaran hanya bersentuhan atau memotong lingkaran tepat di satu titik.
2. Jika menarik garis dari titik di luar lingkaran, Anda dapat membuat dua garis singgung yang berbeda.
3. Garis singgung selalu berada dalam posisi sejajar dan tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgungnya.
4. Sudut 90 derajat akan terbentuk ketika garis singgung dan jari-jari lingkaran dalam posisi sejajar
5. Panjang garis singgung yang menghubungkan satu titik di luar lingkaran ke titik singgung adalah sama.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam

Untuk menghitung panjang garis singgung lingkaran, Anda harus memahami dengan baik konsep dan rumus yang terkait dengan teorema Pythagoras.

Sebelumnya, coba perhatikan gambar di bawah ini!

Lingkaran besar A memiliki jari-jari panjang R. Sementara itu, lingkaran kecil B memiliki jari-jari r. 

Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ, sehingga garis PQ menyentuh kedua lingkaran dan selalu membentuk sudut tegak lurus dengan garis singgung di titik kontak.

Dengan kata lain, garis PQ merupakan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) kedua lingkaran A dan B. Jarak antara pusat lingkaran besar A dan pusat lingkaran kecil B adalah AB = d.

Panjang garis PT sama dengan panjang garis BQ, dan keduanya sejajar, sehingga PT = BQ = r. Garis PQ juga sejajar dan memiliki panjang yang sama dengan garis BT, sehingga PQ = BT = m.

Di dalam garis singgung lingkaran persekutuan mencakup dua lingkaran dan garis singgung lingkaran. Segitiga ABT adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku berada di T, sehingga kita dapat menggunakan rumus Pythagoras sebagai berikut.

AB2=AT2+BT2

BT2=AB2−AT2

PQ2=AB2−AT2

Panjang garis BT yang sama dengan panjang garis PQ, maka:

AT =AP+PT

=R+r

AB =dPQ

Sehingga:
m2=d2−(R+r)2

m=√d2−(R+r)2

Keterangan:

m = panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.

d = jarak antara pusat lingkaran besar dan pusat lingkaran kecil.

R = jari-jari lingkaran besar.

r = jari-jari lingkaran kecil.

R lebih besar dari r.

4 Contoh Soal dan Pembahasannya

Untuk memahaminya lebih dalam, Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajari contoh soal beserta pembahasannya. Adapun contoh-contoh soal untuk mengaplikasikan rumus garis singgung persekutuan dalam sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Dua lingkaran memiliki jari-jari masing-masing 2 cm dan 7 cm. sementara itu, jarak antara pusat kedua lingkaran yakni 15 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran dan pilih jawaban yang benar di bawah ini!

A. 12 cm

B. 10 cm

C. 9 cm

D. 8 cm

Pembahasan:

Jarak antara pusat kedua lingkaran adalah d=15 cm.

Jari-jari lingkaran besar adalah R=7 cm.

Jari-jari lingkaran kecil adalah r=2 cm.

m =√d2−(R+r)2

=√152−(7+2)2

=√152−92 =√225−81

m =√144 =12

Sehingga, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut yakni 12 cm.  Jawaban yang benar adalah A.

Contoh Soal 2

Diketahui panjang jari-jari dua lingkaran adalah 12 cm dan 5 cm. sementara jarak antara kedua titik pusatnya adalah 24 cm. Hitung panjang garis singgung persekutuan dalamnya!

Pembahasan:

Pertama identifikasi nilai-nilai yang telah diberikan:

Jari-jari lingkaran pertama R = 12 cm

Jari-jari lingkaran kedua r = 5 cm

Jarak antara kedua pusat lingkaran k = 24 cm

Kemudian gunakan rumus garis singgung persekutuan dalam:

d = √(k² – (R + r)²)

= √(24² – (12 + 5)²)

= √(576 – (17)²) = √(576 – 289)

d = √287 = 16,94

Panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 16,94 cm.

Contoh Soal 3

Diketahui adanya dua lingkaran dengan jari-jari masing-masing 14 cm dan 4 cm. Coba tentukan panjang garis singgung persekutuan kedua lingkaran tersebut apabila jarak kedua titik pusatnya 30 cm!

Pembahasan:

Jari-jari lingkaran pertama R = 14 cm

Jari-jari lingkaran kedua r = 4 cm

Jarak antara kedua titik pusat lingkaran k = 30 cm

d = √(k² – (R + r)²)

  = √(30² – (14 + 4)²)

  = √(900 – (18)²) = √(900 – 324)

d = √576 = 24

Dapat disimpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut yakni 24 cm.

Contoh Soal 4

Diketahui terdapat dua lingkaran, di mana jari-jari lingkaran pertama (R) adalah 5 cm dan jari-jari lingkaran kedua (r) adalah 3 cm. Jarak antara kedua pusat lingkaran (k) adalah 10 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan yang ada dalam kedua lingkaran tersebut.

Pembahasan:

Jari-jari lingkaran pertama R = 5 cm

Jari-jari lingkaran kedua r = 3 cm

Jarak antara kedua titik pusat lingkaran k = 10 cm

d = √(k² – (R + r)²)

   = √(10² – (5 + 3)²)

   = √(100 – (8)²) = √(100 – 64)

d = √36 = 6

Sehingga dapat disimpulkan bahwa panjang garis singgung persekutuan dalam (d) kedua lingkaran tersebut yakni 6 cm.

Baca Juga : Persamaan Garis Lurus: Pengertian, Sifat, Rumus, dan Soal

Sudah Paham Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam?

Dalam perhitungan menggunakan rumus garis singgung persekutuan dalam, faktor utama yang diperlukan jari-jari kedua lingkaran dan jarak antara kedua pusat lingkaran. Rumus ini dapat Anda gunakan untuk memecahkan masalah geometri yang melibatkan lingkaran dan garis singgungnya.

Penting untuk diingat, pemahaman teori saja tidak cukup. Anda juga perlu berlatih dengan berbagai contoh soal terkait. Dengan berlatih, Anda mampu mengimplementasikan rumus tersebut dengan baik.

Matriks adalah komponen penting dalam matematika, ilmu komputer, fisika, dan banyak bidang lainnya. Nah, dalam aljabar linier, rumus matriks transpose merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan transformasi matriks. 

Pada artikel kali ini, kita akan membahas mengenai pengertian, sifat, rumus matriks transpose, dan cara menyelesaikan contoh soalnya. Yuk, belajar bersama melalui artikel ini!

Apa Itu Matriks Transpose?

Matriks transpose merupakan salah satu bagian dari jenis operasi matriks pada ilmu matematika. Transformasi matriks ini terjadi dengan penukaran antara elemen baris menjadi elemen kolom, begitu pun sebaliknya.

Seperti yang Anda sudah tahu sebelumnya, matriks merupakan susunan bilangan yang tersusun dalam suatu baris dan kolom. Bilangan yang berada pada susunan baris dan kolom disebut sebagai elemen baris dan elemen kolom. 

Biasanya, elemen-elemen tersebut berada di dalam suatu tanda kurung kurawal. Nah, transpos matriks tidak memiliki rumus tertentu, hanya saja notasi yang digunakan sebagai penanda rumus matriks transpose adalah A^T (A pangkat T).

Walaupun materi ini tergolong mudah, namun Anda harus berhati-hati dalam menyelesaikannya. Sebab, ada beberapa aturan terkait model matriks untuk dijadikan transformasi.

Jika matriks berbentuk persegi, maka tidak ada perubahan ordo dalam penukaran elemen. Aturan tersebut berlaku karena matriks persegi memiliki ordo 2×2 atau 3×3, di mana ukuran baris dan kolomnya tetap. Jadi, matriks persegi memiliki transpos matriks dengan ordo yang sama.

Berbeda halnya ketika terdapat matriks dengan ordo 3×1, 2×3, dan 1×2, maka perubahan ordo akan berlaku dalam penukaran elemen. Sehingga, matriks berubah menjadi ordo 1×3, 3×2, dan 2×1. Berikut ini terdapat ilustrasi cara melakukan matriks transpos:

Sebagai contoh soal, diketahui matriks A, B, dan C memiliki persamaan sebagai berikut:

Terlihat bahwa matriks A memiliki ordo 1×2, B berordo 3×2, sedangkan matriks C berordo 2×2. Matriks C merupakan matriks yang berbentuk persegi. Sehingga, pahami pembahasan berikut ini:

Ketiga matriks transpos di atas telah bertukar posisi yang semula berupa elemen baris menjadi elemen kolom. Kondisi tersebut menyebabkan ordo setiap matriks berubah. Matriks A berordo 2×1, B memiliki ordo 2×3, dan matriks C ordonya tetap 2×2.

Oleh karena itu, matriks persegi tidak memiliki perubahan rumus matriks transpose secara signifikan, hanya penggantian angka pada elemen baris dan kolom. Mudah, bukan?

Sifat-Sifat Rumus Matriks Transpose 

Matriks transpos memiliki beberapa sifat untuk memudahkan Anda dalam menyelesaikan operasi perhitungan. Berikut ini penjelasan sifat-sifatnya:

1. Transformasi Matriks Transpos

Sifat pertama adalah transformasi matriks transpos. Artinya, suatu bilangan matriks yang mengalami transformasi sebanyak dua kali akan menghasilkan matriks awal. Coba pahami ilustrasi berikut:

2. Penjumlahan Transpos Matriks

Selanjutnya adalah operasi penjumlahan dua bilangan matriks A dan B. Kasus seperti ini bisa Anda selesaikan dengan mudah, karena hasil akhirnya merupakan matriks A dan B itu sendiri. Berikut rumus matriks transpose dengan operasi penjumlahan:

Agar tampak nyata, di bawah ini terdapat pembuktian dari rumus di atas:

3. Pengurangan Transpose Matriks

Sifat ketiga ini merupakan bagian dari sifat sebelumnya. Cara penyelesaian dan rumusnya pun sama dengan penjumlahan. Berikut aturannya:

Berikut penjabaran dari rumus tersebut:

4. Perkalian dengan Konstanta

Jika Anda mengalikan bilangan matriks dengan konstanta lalu ditransformasikan, maka hasilnya adalah konstanta dan matriks transpose itu sendiri. Berikut ini aturannya:

Pembuktian dari rumus di atas adalah seperti berikut:

5. Sifat Perkalian Transpose

Sifat yang terakhir adalah berkaitan dengan operasi perkalian. Jika Anda menemukan perkalian dua matriks yang ditransformasikan, maka hasil akhirnya aadalah sama dengan hasil kali transpose kedua matriks tersebut. Berikut ini aturannya:

Anda bisa melihat operasi penyelesaian dari rumus matriks transpose tersebut di bawah ini:

Contoh Soal Beserta Penjelasan Rumus Matriks Transpose

Nah, untuk melatih pemahaman Anda yang sedang belajar rumus matriks transpose, Anda bisa mempelajari beberapa tipe soal dan jawabannya di bawah ini:

1. Contoh Soal Pertama

Carilah hasil matriks transpose dari matriks A, B, dan C, di bawah ini:

Penyelesaian:

2. Contoh Soal Kedua

Jika diketahui matriks A, B, dan C yang mana ketiganya memenuhi A+B=C^T, maka berapakah hasil 2x+3y?

Penyelesaian:

• Langkah pertama untuk menyelesaikan soal seperti di atas adalah dengan mengoperasikan persamaan matriks sesuai dengan rumus matriks transpose yang tertera pada soal.

• Kemudian, carilah nilai x dan y seperti berikut ini:

2x + 9 = 5

2x = 9 – 5 = 4

x = 2

3y + (-2) = 7

3y = 7 + 2 = 9

y = 3

• Jadi, hasil operasi penjumlahan dari 2x+3y adalah

2x + 3y = 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13

3. Contoh Soal Ketiga

Terdapat tiga buah matriks seperti berikut:

Jika A x B^T – C =           dengan B^T adalah hasil rumus matriks transpose matriks B, maka hitunglah nilai a dan b!

Penyelesaian:

• Penyelesaian pertama adalah dengan mencari transpos matriks B

• Kemudian, carilah nilai a dan b menggunakan rumus matriks transpose sebagai berikut:

Dengan demikian, Anda bisa menghitung nilai a dan b melalui persamaan di bawah ini:

4 + 4a = 04a = -4a = -1

b + 2 = 4b = 4 – 2 = 2

Manfaat Mempelajari Rumus Matriks Transpose

Pada dasarnya, belajar materi transpos matriks bukan hanya sebagai untuk ilmu matematika. Akan tetapi, materi ini juga bisa diaplikasikan dalam bidang teknik dan ilmu komputer. Berikut ini beberapa manfaat yang bisa Anda ambil dalam belajar rumus matriks transpose:

1. Memudahkan Menghitung Matriks dan Persamaan Linier

Manfaat yang pertama adalah dapat memudahkan Anda untuk melakukan perhitungan matriks dan sistem persamaan linier. Penyelesaian ini biasa digunakan dalam kasus numerik dan algoritma.

2. Mengolah Citra dan Grafik dalam Ilmu Komputer

Selain matematis, matriks transpos juga berfungsi untuk membantu para ahli komputer dalam memutar citra dan grafik pada objek. Contohnya adalah ketika akan memutar gambar sebesar 90^o, maka Anda bisa menggunakan operasi rumus matriks transpose terlebih dahulu.

3. Analisis Data

Manfaat yang ketiga adalah dapat memudahkan Anda dalam melakukan analisis data dengan bantuan penukaran data pada baris dan kolom. Biasanya, cara ini bermanfaat dalam melakukan analisis statistik dan visualisasi data.

4. Pengkodean dan Kriptografi

Selanjutnya, teori ini juga berguna untuk menjaga keamanan data dan informasi melalui kode matriks transpose. Sehingga, program akan sulit untuk dirusak oleh pihak tidak berwenang.

5. Aljabar Linier

Manfaat yang terakhir ini merupakan salah satu konsep dasar dalam aljabar. Sebab, banyak teori yang melibatkan materi ini dalam menyelesaikan konsep aljabar.

Baca Juga : Transpose Matriks: Pengertian, Ciri, Jenis, dan Contoh Soal

Sudah Paham Cara Menghitung Rumus Matriks Transpose?

Demikian penjelasan singkat terkait pengertian, sifat, dan cara perhitungan menggunakan rumus matriks transpose. Pada dasarnya, operasi matriks ini merupakan perhitungan matematika yang melibatkan penukaran baris menjadi kolom, begitu pun sebaliknya. 

Hasil akhir dari penyelesaian operasi matematika ini akan memiliki dimensi yang berlawanan dengan matriks asal. Untuk memudahkan proses belajar Anda, ada baiknya mulailah dengan matriks sederhana, seperti matriks persegi 2×2, dan aplikasikan rumus transpos untuk matriks ini. 

Setelah Anda merasa nyaman dengan contoh-contoh sederhana, lanjutkan dengan matriks berukuran lebih besar. Pahami bahwa rumus transpos akan berlaku untuk matriks berukuran m x n, bukan hanya 2×2.

Pengukuran, besaran, dan satuan sebuah benda sebenarnya tidak bisa terlepas dari kehidupan sehari-hari. Bagi sebagian orang, tentu sudah tidak asing dengan besaran pokok dan besaran turunan. Kedua besaran ini saling berkaitan dalam menentukan nilai dari suatu benda. 

Misalnya, ketika kamu ingin mengukur volume sebuah botol minum. Atau kamu ingin mengetahui luas dari sebuah lapangan sepak bola? Atau ingin mengukur tegangan dan hambatan listrik di rumah? Kamu bisa menghitung semuanya dengan rumus ataupun dengan alat ukur. 

Untuk memperdalam pengetahuan kamu tentang besaran jenis turunan beserta contohnya, simak artikel di bawah ini sampai selesai!

Pengertian Besaran Turunan

Secara umum, besaran turunan merupakan suatu besaran yang diturunkan dari besaran pokok. Kedua kelompok besaran ini sebenarnya hampir sama, karena keduanya berfungsi untuk menentukan nilai dari suatu ukuran yang dinyatakan dalam Satuan Internasional (SI).

Bedanya, satuan dari besaran ini bisa kamu dapatkan dari kombinasi atas beberapa macam satuan pokok. Oleh sebab itu, jangan heran, jika terdapat satuan turunan yang tidak hanya terdiri dari satu satuan, seperti pada besaran pokok. Misalnya, satuan meter per sekon (m/s) untuk kecepatan.

Kombinasi antara beberapa besaran pokok ini menunjukkan jika satu besaran pokok sebenarnya bisa menghasilkan beberapa besaran turunan. Contohnya, besaran pokok panjang bisa digunakan untuk menentukan luas dan volume juga.

Meski demikian, masing-masing besaran memiliki rumus yang berbeda untuk menentukan nilai besarannya. Penentuan besaran dengan menggunakan rumus disebut juga sebagai pengukuran tidak langsung. Sedangkan penentuan besaran menggunakan alat ukur dikenal sebagai pengukuran langsung. 

Rumus dan Contoh Besaran Turunan

Terdapat beberapa macam contoh besaran turunan yang biasa digunakan beserta rumusnya. Berikut ini masing-masing besarannya:

1. Kecepatan

Besaran jenis turunan yang pertama yaitu kecepatan. Kecepatan berasal dari perbandingan antara jarak yang telah ditempuh dengan waktu tempuhnya. Jenis besaran ini banyak digunakan dalam perhitungan matematika maupun fisika. Satuan internasional untuk kecepatan adalah m/s. Berikut rumus perhitungan kecepatan:

V = s/t

Keterangan:

V = kecepatan

s = jarak tempuh

t = waktu tempuh

2. Percepatan

Berbeda dengan kecepatan, ada pula besaran turunan berupa percepatan. Percepatan berasal dari pembagian antara kecepatan dan waktu yang dibutuhkan. Satuan untuk percepatan dalam satuan internasional yaitu L T^-2 (m/ s²). Rumus untuk menghitung percepatan yaitu:

a = Δv / Δt

Keterangan:

a = percepatan

Δv = perubahan kecepatan

Δt = perubahan waktu

3. Momentum

Momentum adalah besaran yang berasal dari perhitungan perkalian antara massa dan kecepatan. Satuan untuk momentum menurut satuan internasional adalah kilogram meter per detik (kg m/s). Rumus untuk menghitung momentum adalah:

P = m.v

Keterangan:

P = momentum

m = massa

v = kecepatan

4. Gaya

Gaya adalah besaran turunan yang berasal dari perkalian antara massa dan percepatan. Dalam satuan internasional, gaya dinyatakan dalam satuan N (Newton) atau kg m/s2. Contoh besaran ini banyak digunakan dalam perhitungan fisika. Rumus untuk menentukan gaya adalah:

F = m.a

Keterangan: 

F = gaya

m = massa 

a = percepatan

5. Daya

Daya adalah jenis besaran turunan yang berasal dari satuan turunan usaha dan satuan pokok waktu. Satuan untuk menyatakan besaran daya adalah watt. Sedangkan rumus untuk menghitung daya adalah:

P = W/t

Keterangan:

P = daya

W = usaha

t = waktu

6. Usaha

Usaha merupakan jumlah gaya yang diperlukan untuk memindahkan beban dalam ilmu fisika. Menurut satuan internasional, satuan untuk usaha adalah Joule atau kg m2/s2. Sementara rumus untuk menghitung usaha adalah:

W = F.s

Keterangan:

W = usaha

F = gaya

s = jarak/perpindahan

7. Massa Jenis

Jenis besaran selanjutnya adalah massa jenis (rho). Pada dasarnya, kamu bisa menentukan massa jenis suatu benda dengan menggunakan besaran pokok massa dan panjang (m3). Satuan internasional yang menyatakan massa jenis adalah kg/m3. Rumus untuk menghitung rho atau massa jenis, yaitu:

ρ = m/V

Keterangan:

ρ = rho atau massa jenis

m = massa

V = kecepatan

8. Tekanan

Tekanan merupakan turunan dari besaran gaya dan luas, yang bisa kamu temukan dalam ilmu fisika. Satuan untuk tekanan, yaitu Pascal atau N/m2. Sedangkan rumus untuk menghitung tekanan, yaitu:

P = F / A

Keterangan:

P = tekanan

F = gaya

A =  luas bidang

9. Volume

Besaran turunan yang berasal dari penurunan besaran pokok panjang adalah volume. Besaran ini biasanya digunakan untuk menghitung volume dari bangun ruang atau bangun tiga dimensi. Cara perhitungannya, yaitu dengan mengalikan panjang, lebar, dan tinggi suatu bidang. Satuan internasional untuk volume, yaitu meter kubik (m3).

10. Luas

Luas merupakan turunan dari besaran pokok panjang. Kamu bisa menghitung besaran luas dengan perkalian antara panjang dan lebar suatu bangun datar. Satuan internasional untuk luas adalah meter persegi (m2). Rumus umum untuk menghitung luas, yaitu panjang x lebar (p x l).

11. Tegangan Listrik

Tegangan listrik merupakan suatu besaran turunan yang berguna untuk mengetahui perbedaan tegangan listrik. Kita seringkali menggunakan besaran ini di bidang kelistrikan. Satuan internasional untuk tegangan yaitu Volt (V). Rumus untuk menghitung tegangan listrik, yakni:

V = I . R

Keterangan:

V = tegangan listrik

I = kuat arus listrik

R = hambatan listrik

12. Hambatan Listrik

Hambatan listrik merupakan besaran yang berkaitan langsung dengan kelistrikan. Satuan internasional untuk hambatan listrik adalah Ohm. Rumus untuk menghitung besaran turunan hambatan listrik, yaitu:

R = V / I

Keterangan:

R = hambatan listrik

V = tegangan listrik

I = kuat arus listrik 

13. Muatan Listrik

Muatan listrik merupakan besaran turunan yang berasal dari pengukuran tidak langsung. Satuan internasional untuk besaran muatan listrik adalah Coulomb (C). Rumus untuk menghitung muatan listrik, yaitu:

 Q = I x dt

Keterangan:

I = arus listrik (A)

Q = muatan listrik (C)

dt = perubahan waktu

14. Frekuensi

Frekuensi merupakan besaran yang menyatakan adanya getaran atau putaran ulang per peristiwa dalam satuan detik. Besaran ini biasanya digunakan untuk mengetahui nilai getaran suara. Satuan internasional untuk menyatakan frekuensi adalah Hertz. Sementara rumus untuk menghitung frekuensi adalah:

f = 1/t

Keterangan:

 f =frekuensi

 t = periode waktu

Alat Ukur Besaran Turunan

Seperti yang dijelaskan sebelumnya, besaran turunan dapat diukur dengan pengukuran tidak langsung maupun langsung. Jika kamu hendak melakukan pengukuran langsung, tentunya membutuhkan alat ukur khusus, seperti berikut ini:

1. Barometer

Barometer merupakan jenis alat ukur yang digunakan untuk menghitung banyaknya tekanan udara. Alat ukur besaran turunan yang satu ini banyak digunakan untuk memperkirakan cuaca.

2. Hygrometer

Hygrometer merupakan alat ukur yang berfungsi untuk menghitung kelembaban udara di suatu tempat atau ruangan.

3. Speedometer

Speedometer merupakan alat ukur yang berfungsi untuk menghitung kecepatan. Kamu mungkin sudah tidak asing lagi dengan speedometer, karena banyak kamu temukan di transportasi, seperti motor dan mobil.

4. Dinamometer

Dinamometer merupakan alat ukur yang berfungsi untuk menentukan besar kecilnya suatu gaya pada sebuah objek. Prinsip penggunaan dinamometer adalah menerapkan metode gaya pegas.

5. Kalorimeter

Kalorimeter merupakan alat ukur yang berfungsi untuk menghitung banyaknya energi kalor pada reaksi atau perubahan kimia.

6. Ohm Meter

Ohm meter merupakan alat ukur yang berfungsi untuk mengukur nilai hambatan listrik pada suatu objek yang terhubung dengan listrik. 

Ciri-Ciri Besaran Turunan

Adapun dua ciri-ciri umum dari besaran jenis turunan, yaitu:

1. Bisa Ditentukan Secara Langsung dan Tidak Langsung

Secara garis besar, kamu bisa menghitung besaran turunan secara tidak langsung menggunakan rumus. Selain itu, ada pula cara menghitung langsung menggunakan alat ukur. Misalnya, ketika kamu ingin mengukur volume sebuah bangun ruang, maka kamu bisa melakukan pengukuran dengan rumus volume atau menggunakan gelas ukur atau meteran laser. 

2. Memiliki Satuan Lebih dari Satu

Setiap besaran turunan mempunyai satuan yang lebih dari satu, karena gabungan dari beberapa besaran pokok. Misalnya, besaran kecepatan memiliki satuan panjang dan waktu, yaitu meter per detik. Atau satuan gaya juga memiliki tiga satuan dasar, yaitu kilogram meter per sekon kuadrat.

Baca Juga : Pengertian Besaran Pokok dan Besaran Turunan Serta Satuannya

Sudah Lebih Mengenal Besaran Turunan dan Satuannya?

Secara keseluruhan, besaran turunan terdiri dari 14 satuan turunan. Besaran tersebut, antara lain gaya, usaha, kecepatan, percepatan, momentum, daya, massa jenis, frekuensi, muatan listrik, tegangan listrik, hambatan listrik, luas, volume, dan tekanan. Masing-masing besaran bisa kamu hitung dengan rumus maupun alat ukur khusus.

Besaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan satuan, kemudian juga dapat diukur serta dihitung dengan angka. Besaran ini dapat dikelompokkan menjadi dua kategori utama, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. 

Dalam artikel ini, kami akan membahas lebih lanjut tentang konsep besaran pokok dan besaran turunan yang lengkap dengan macam-macam satuan serta contoh soalnya. Namun, sebelum itu mari pahami terlebih dahulu definisi dari ketiga bahasan utama tersebut. 

Apa Itu Besaran Pokok?

Dalam ilmu matematika dan fisika, besaran pokok adalah besaran dasar yang tidak dapat diuraikan menjadi besaran-besaran yang lebih sederhana. Dalam kata lain, besaran pokok tidak diturunkan dari besaran lain dan bersifat bebas. 

Jenis besaran besaran pokok dan besaran turunan yang ada hingga saat ini menjadi dasar untuk menetapkan besaran lain. Berikut ini adalah tujuh besaran pokok yang ada dalam sistem Satuan Internasional (SI). 

1. Massa

Jenis besaran yang mengukur jumlah materi pada suatu objek adalah massa. Satuan standar untuk massa adalah kilogram (kg). Alat untuk mengukur jenis besaran ini adalah dengan menggunakan timbangan atau neraca.

2. Panjang

Panjang adalah salah satu besaran pokok yang mengukur jarak atau ruang dalam satuan meter (m). Misalnya, untuk mengukur panjang sebuah meja antara dua titik, maka pengukurannya dapat menggunakan mistar, penggaris, atau meteran.

3. Waktu

Waktu adalah salah satu besaran pokok yang berguna untuk mengukur perubahan dalam pergerakan atau peristiwa dalam satuan detik atau sekon (s). Alat ukur yang berguna untuk mengukur waktu adalah stopwatch, jam tangan, jam dinding, dan lain-lain.

4. Kuat Arus Listrik

Kuat arus listrik adalah satu jenis besaran pokok dan besaran turunan yang berguna untuk mengukur aliran listrik dalam suatu rangkaian yang umumnya dinyatakan dalam satuan ampere (A). Alat yang dapat mengukur kuat arus listrik bernama amperemeter.

5. Intensitas Cahaya

Intensitas cahaya adalah ukuran dari jumlah energi cahaya yang melewati suatu area tertentu dalam suatu periode waktu tertentu. Umumnya, intensitas cahaya berguna untuk mengukur kecerahan dalam satuan candela (cd) dan alat pengukurnya bernama candlemeter.

6. Jumlah Zat

Besaran ini berguna untuk mengukur jumlah partikel atau molekul dalam suatu zat yang umumnya dinyatakan dalam satuan mol. Mengukur jumlah zat dalam satuan mol adalah dengan menggunakan timbangan analitik (analytical balance) atau timbangan presisi.

7. Suhu

Suhu merupakan salah satu besaran pokok yang berguna untuk mengukur tingkat panas atau dingin suatu benda. Satuan suhu terbagi menjadi empat jenis, yakni Celcius, Reamur, Fahrenheit, dan Kelvin. Satuan baku dalam Sistem Internasional (SI) adalah Kelvin (K) dan alat untuk mengukur suhu adalah termometer.

Apa Itu Besaran Turunan?

Besaran turunan adalah besaran-besaran yang dapat dihitung atau diukur berdasarkan besaran pokok. Masing-masing besaran pokok dan besaran turunan juga memiliki fungsi yang sama, yakni untuk menghitung sesuatu yang telah ada dalam Sistem Internasional (SI).

Berikut ini adalah beberapa besaran turunan yang digunakan dalam berbagai bidang ilmu dan aplikasi:

1. Kecepatan 

Kecepatan adalah besaran turunan yang mengukur perubahan posisi suatu objek dalam satu satuan waktu. Anda bisa menghitung kecepatan dengan membagi perubahan posisi oleh waktu, sehingga satuan ukurannya adalah meter per detik (m/s).

2. Percepatan

Percepatan adalah salah satu besaran turunan yang mengukur perubahan kecepatan suatu objek dalam satu satuan waktu. Cara menghitung percepatan adalah dengan membagi perubahan kecepatan oleh waktu, sehingga satuan ukurannya adalah meter per detik kuadrat (m/s²).

3. Gaya

Gaya merupakan salah satu besaran turunan yang mengukur interaksi antara objek dan dapat menyebabkan perubahan dalam geraknya. Sehingga, satuan untuk mengukur gaya adalah Newton (N).

4. Energi 

Energi adalah besaran pokok dan besaran turunan yang mengukur kemampuan suatu sistem untuk melakukan pekerjaan. Satu Joule (J) setara dengan energi untuk menggerakkan objek seberat satu kilogram per satu meter.

5. Daya

Daya merupakan besaran turunan yang mengukur laju perubahan energi. Satu Joule per detik adalah sama seperti satu Watt (W). Anda bisa mengukur daya melalui berbagai perangkat seperti wattmeter, amperemeter, voltmeter, dan peralatan pengukur listrik lainnya.

6. Tekanan

Tekanan adalah salah satu besaran yang mengukur distribusi gaya pada area tertentu. Cara mengukur tekanan adalah dengan menggunakan satuan pascal (Pa) yang setara dengan satu Newton per meter persegi. Anda bisa mengukur tekanan dengan menggunakan barometer, manometer, anemometer, dan lainnya.

7. Frekuensi

Besaran frekuensi berguna untuk mengukur jumlah siklus peristiwa dalam satu satuan waktu. Satu Hertz (Hz) setara dengan satu siklus per detik. Anda bisa mengukur frekuensi dengan menggunakan osiloskop dan beberapa alat lain.

Baca Juga : Mengenal Besaran Turunan: Pengertian, Satuan, dan Rumusnya

Apa Itu Satuan dalam Besaran Pokok dan Besaran Turunan?

Satuan adalah referensi atau skala pembanding yang berguna dalam proses pengukuran dan terkait erat dengan nilai dari besaran pokok dan besaran turunan yang terukur. Adapun Satuan Internasional (SI) merupakan standar baku satuan yang terakui secara internasional.

Misalnya, Anda dapat menggunakan satuan detik (s) untuk mengukur waktu dan satuan kilogram (kg) untuk mengukur massa. Melalui satuan tersebut, Anda dapat mengkomunikasikan hasil pengukuran dengan angka yang jelas. Oleh karena itu, satuan bertindak sebagai landasan agar orang dapat memahami hasil pengukuran.

Contoh Soal dan Pembahasan Terkait Besaran Pokok dan Besaran Turunan

Berikut ini adalah contoh soal besaran pokok dan besaran turunan yang bisa Anda pelajari: 

1. Contoh Soal Besaran Pokok

Terdapat sebuah benda dengan panjang 2 meter, lebar 0,5 meter, dan tinggi 1 meter. Hitunglah volume benda tersebut dalam satuan meter kubik (m³)!

Pembahasan:

Volume (V) adalah besaran pokok dalam ilmu fisika yang mana mengukur ruang yang ditempati oleh suatu objek. Kemudian, untuk menghitung volume benda, Anda dapat menggunakan rumus:

V = Panjang x Lebar x Tinggi

Dalam kasus ini, panjang = 2 meter, lebar = 0,5 meter, dan tinggi = 1 meter. Maka penyelesaiannya adalah seperti berikut ini:

V = 2m x 0,5m x 1m

V = 1m³

Jadi, volume benda tersebut adalah 1m³ atau 1 meter kubik.

2. Contoh Soal Besaran Turunan

Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 20 meter per detik (m/s) dan mengalami percepatan sebesar 4 meter per detik kuadrat (m/s²) selama 5 detik. Lantas, berapa kecepatan mobil setelah 5 detik?

Pembahasan:

Kecepatan awal adalah 20 m/s, percepatan (a) adalah 4 m/s², dan waktu (t) adalah 5 detik. Untuk menghitung kecepatan setelah 5 detik, Anda dapat menggunakan rumus kecepatan (v) yang melibatkan kecepatan awal, percepatan, dan waktu.

v = 20 m/s + (4 m/s² × 5 detik)

v = 20 m/s + 20 m/s = 40 m/s

Jadi, kecepatan mobil setelah 5 detik adalah 40 m/s.

Sudah Paham Apa Itu Besaran Pokok dan Besaran Turunan?

Pada intinya, memahami konsep besaran pokok dan besaran turunan dengan satuan yang baku akan memudahkan Anda dalam mengerjakan berbagai soal. Sebab, penggunaan satuan memungkinkan orang lain untuk dapat memahami hasil pengukuran dengan sejelas mungkin.

Ingat dan hafalkan besaran pokok yang ada dalam Sistem Internasional (SI), termasuk nama, simbol, dan unit pengukuran masing-masing. Gunakan catatan dan diagram untuk mengilustrasikan konsep besaran pokok dan turunan. Selamat belajar!

Dalam ilmu matematika, materi integral dibagi menjadi dua berdasarkan tekniknya, yaitu integral parsial dan integral substitusi. Kedua integral ini hampir sama, perbedaannya yakni pada cara dan komponen yang diintegrasikan. Pada artikel ini akan fokus membahas rumus integral parsial yang lengkap dengan soal dan pembahasannya!

Integral Parsial

Sebelum menguraikan rumus integral parsial, sebaiknya  ketahui dulu pengertiannya. Adapun integral parsial merupakan suatu teknik pengintegralan dengan cara parsial, yang mana dengan pemisahan, karena komponen yang diintegrasikan memuat variabel yang sama, tetapi berbeda fungsinya. 

Biasanya, jenis integral ini orang gunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan yang kompleks. Selain itu, cara ini juga biasanya digunakan ketika cara substitusi tidak berhasil dalam menyelesaikan permasalahan matematika.

Rumus Integral Parsial

Pada dasarnya, bentuk rumus umum dari integral parsial sebagai berikut:

Adapun rumus tersebut diperoleh dari persamaan berikut ini:

u = f(x) jadi du = f(x) dx

dv = g(x) dx dari v = g(x) dx

Namun, jika f(x) berupa polinom derajat n ≥ 1, n ∈ asli, maka bentuk formula tersebut bisa disederhanakan seperti skema berikut:

Adapun tabel tersebut maksudnya, yaitu kolom fungsi f(x) di sebelah kiri adalah fungsi yang diturunkan hingga turunannya bernilai 0. Sedangkan jika kolom fungsi g(x) atau yang sebelah kanan harus diintegralkan sampai kolom sebelah kiri bernilai 0. 

Selain itu, tanda fungsi tersebut selalu berselang-seling, yaitu dari positif (+) menjadi negatif (-) dan seterusnya. Untuk itulah, lebih lanjut rumus integral tersebut bisa kamu tulis juga sebagai berikut: 

Tidak hanya itu, rumus integral parsial juga bisa dibagi menjadi dua tipe, yaitu integral tak tentu dengan integral tentu. Adapun rumus untuk integral parsial tak tentu sebagai berikut:

Sedangkan rumus untuk integral parsial tentu, yaitu:

Baca Juga : Integer Adalah: Pengertian, Ukuran, dan Contoh Penggunaannya

Contoh Soal Integral Parsial dan Pembahasan

Untuk lebih jelasnya mengenai penjelasan rumus integral parsial tersebut, berikut ini contoh soalnya lengkap dengan pembahasan:

Soal 1

Berapakan hasil integral dari ʃ x2 cos x dx? 

Pembahasan:

Pertama-tama kita misalkan bahwa:

ʃ x cos x dx = ʃ u dv

Maka, kamu bisa mengetahui bahwa:

u = x, jadi diperoleh du = 1 dx

dv = cos x dx, jadi diperoleh v = sin x

Selanjutnya, distribusikan 4 variabel tersebut, sehingga diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

ʃ x cos x dx = ʃ u dv

ʃ x cos x dx = uv – ʃ v du

Lalu,

ʃ x cos x dx = x (sin x) – ʃ sin x (1 dx)

ʃ x cos x dx = x sin x – ʃ sin x dx

Sederhanakan lagi menjadi,

ʃ x cos x dx = x sin x – (-cos x)

ʃ x cos x dx = x sin x + cos x

Jadi hasil akhirnya adalah x sin x + cos x.

Soal 2

Tentukan, berapakah hasil integral dari persamaan berikut ini:

ʃ Inxdx

Pembahasan:

Adapun bentuk soal tersebut bisa kamu selesaikan dengan metode dasar, karena tidak memiliki polinom derajat dari bilangan aslinya. Selanjutnya, kamu bisa misalkan rumusnya untuk mulai menyelesaikan soal tersebut. 

Misal:

u = Inx, maka du = 1/x dx

dv = dx, maka v = x

Selanjutnya, kamu bisa mulai memasukkannya ke dalam persamaan seperti berikut:

ʃ Inx dx = u v – ʃ v du

ʃ Inx dx = (Inx (x) – ʃ x (1/x dx)

Kemudian, sederhanakan menjadi:

ʃ Inx dx = x Inx – ʃ dx

ʃ Inx dx = x Inx – x + c

Maka, hasil integral dari Inx dx adalah x Inx – x + c.

Soal 3

Tentukan berapakah integral dari:

ʃ 2x (5x + 1)⁶ dx

Pembahasan:  

Pertama, misalkan 2x = u, jadi 2 dx = du

Kemudian, misalkan juga dv = (5x + 1)⁶ dx, 

maka v = (1/5) (1/7) (5x + 1)⁷ = 1/35 (5x + 1)⁷

Jadi, penyelesaian untuk soal tersebut sebagai berikut:

ʃ 2x (5x + 1)6 dx = 2x (1/35) (5x + 1)2 – 1/35 (5x + 1)7 2 dx

          = 2x/35 (5x + 1)⁷ – 2/35 (1/5) (1/8) (5x + 1)⁸ + c

          = 2x/35 (5x + 1)⁷ – 1/700 (5x + 1)⁸ + c

Maka, hasil integral dari ʃ 2x (5x + 1)⁶ dx adalah 2x/35 (5x + 1)⁷ – 1/700 (5x + 1)⁸ + c.

Soal 4

Berapakah hasil integral dari :

ʃ x (x + 4)⁵ dx 

Pembahasan:

Hal yang pertama untuk menyelesaikan soal tersebut adalah dengan membuat permisalan sebagai berikut:

u = x, maka du = dx

dv = (x + 4)⁵ dx, maka v = 1/6 (x + 4)⁶

Dengan menggunakan rumus integral parsial, maka penyelesaiannya sebagai berikut:

Jadi hasil integral dari

ʃ x (x + 4)⁵ dx  adalah 1/21 (3x – 2)(x + 4)⁶ + c.

Soal 5

Berapakah hasil dari

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal tersebut, kamu bisa misalkan terlebih dahulu:

u = x, maka du = dx

dv = (x + 4)⁵ dx, maka v = 1/6  (x + 4)⁶

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus integral parsial, kamu bisa menyelesaikannya seperti berikut:

Sudah Tahu Rumus Integral Parsial? 

Untuk menghitung integral parsial memang tidak semudah yang dibayangkan. Mengingat rumusnya yang cukup banyak dan sangat rumit, sehingga memerlukan tenaga ekstra untuk memikirkan cara menyelesaikan soalnya. 

Namun dengan berlatih secara rutin dan terstruktur, maka tidak ada yang tidak mungkin untuk bisa menyelesaikan soal integral ini. Kamu bisa berlatih menggunakan beberapa soal di atas atau mencari soal yang lain dan berlandaskan pada pembahasan tersebut. Semoga membantu!

Fungsi linear dengan nama lain Persamaan Garis Lurus (PGL) adalah salah satu sub bidang di mata pelajaran matematika yang pasti kamu pelajari saat mengenyam bangku sekolah, tepatnya saat SMA. PGL bisa diterapkan dalam berbagai sektor kehidupan, lo, salah satunya di bidang ekonomi. Simak bahasan ringkasnya berikut ini, yuk!

Pengertian Fungsi dalam Matematika

Istilah fungsi linear atau persamaan garis lurus berakar dari dua kata – fungsi dan linear. Tapi, apa itu sebenarnya fungsi dari kacamata Matematika?

Fungsi bisa diartikan sebagai konsep yang menghubungkan setiap anggota pada dua himpunan. Sederhananya, sub bidang pada mata pelajaran matematika ini akan menghubungkan setiap anggota pada himpunan (A) dengan setiap anggota pada himpunan (B).

Semua anggota pada himpunan (A) harus punya pasangan dari himpunan (B). Namun, jika ada himpunan (B) yang tidak dapat pasangan dari himpunan (A), itu bukanlah masalah.

Satu hal lagi yang perlu kamu ingat adalah bahwa jumlah pasangan semua anggota himpunan (A)  pada himpunan (B) masing-masing hanya satu. Jadi, jika ada anggota dari himpunan (A)  yang punya lebih dari satu pasangan, itu bukanlah fungsi.

Bagaimana dengan himpunan (B)? Nah, kalau himpunan (B) mendapatkan pasangan lebih dari satu di himpunan (A), tidak masalah.

Kalau kamu ingat-ingat kembali, persamaan garis lurus pasti tidak lepas dari tiga istilah ini, yaitu variabel, konstanta, dan koefisien.

Apa Itu Fungsi Linear?

Sebelumnya kita sudah membahas secara singkat apa itu fungsi. Nah, lalu, apa itu fungsi linear atau persamaan garis lurus?

Simpelnya, persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang akan membentuk garis lurus. Selain itu, pangkat tertinggi variabel pada pada persamaan garis lurus adalah sama dengan satu.

Di bawah ini kamu bisa lihat contoh dari persamaan garis lurus.

Sempat kita bahas di awal kalau konsep persamaan garis lurus sangat bisa diterapkan dalam kehidupan nyata. Konsep ini sering kali digunakan oleh para ekonom dan pebisnis dalam memecahkan dan menganalisis berbagai masalah yang berkaitan dengan ekonomi.

Jadi, segala kebijakan ekonomi yang sering kamu temui,  juga prediksi ekonomi di masa depan yang sering kamu dengar dari ahli ekonomi itu bukanlah tanpa dasar. Pasalnya, mereka juga memanfaatkan fungsi linear sebagai salah satu pendekatan dalam menganalisis aspek-aspek terkait. 

Itulah sebabnya, pemahaman dan penerapan PGL menjadi penting. 

Baca Juga : Pertidaksamaan Linear: Pengertian, Sistem, Bentuk Umum, Contoh

Rumus Fungsi Linear

Supaya kamu paham cara kerja persamaan garis lurus, kamu perlu melihat rumusnya. Berikut ini adalah bentuk umumnya. 

f : x → ax + b

Atau, dalam notasi fungsi umum adalah

f(x) = ax + b

y    = ax + b

Dengan begitu, kalau kita menggunakan konsep kemiringan garis (gradien), koefisien (a) dapat kita ganti dengan koefisien kemiringan – atau kita tandai sebagai (m).

f(x) = mx + b

y    = mx + b

Keterangan:

• m = kemiringan atau gradien,
• c = konstanta.

Kalau (m) menggambarkan kemiringan suatu garis, bagaimana dengan kode (c) atau konstanta?

Konstanta atau yang dilambangkan dengan (c) menggambarkan titik potong suatu garis terhadap sumbu (y).

Jika kita belajar tentang fungsi linear, tentu kita pasti akan menggambar grafik, sehingga kamu harus memperhatikan beberapa unsur berikut agar dapat menggambar grafik dengan benar.

• Di manapun letak titik potong terhadap sumbu (x), sudah pasti y = 0, dengan koordinat (x,0).
• Di manapun letak titik potong terhadap sumbu (y), sudah pasti x = 0, dan koordinat (0,y).
• Dua titik (A dan B) jika kamu hubungkan akan membentuk sebuah garis lurus dengan persamaan y = mx + b.
• Jika (b) bernilai positif, sebuah garis akan digambar dari arah kiri bawah ke kanan atas.
• Jika (b) bernilai negatif maka, sebuah garis akan digambar dari kiri atas ke kanan bawah.
• Sedangkan, jika (b)  nilainya 0 maka, sebuah garis akan digambar sejajar dengan sumbu (x).

Contoh Soal Persamaan Linear dan Pembahasannya

Nah, sekarang kita masuk ke bagian yang paling kamu tunggu-tunggu – contoh soal persamaan linear dan pembahasan lengkapnya.

Beberapa contoh soal beserta pembahasannya ini akan membantumu untuk memahami prinsip persamaan garis lurus dengan cepat dan mudah. 

Contoh Soal 1

Suatu fungsi linear diketahui sebagai berikut f(x) = 3x + b. Tentukan bentuk fungsi tersebut jika diketahui f(5) = 18.

Pembahasan

f(x) = 3x + b

f(5) = 3(5) + b = 18

15 + b = 18

b = 18-15 

b = 3

Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 3x + 3

Contoh Soal 2

Terdapat suatu fungsi linear yaitu f(x) = 7x + b. Tentukan bentuk fungsi linier tersebut jika diketahui f(3) = 25.

Pembahasan

f(x) = 7x + b

f(3) = 7(3) + b = 25

21 + b = 25

b = 25-21 

b = 4

Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 7x + 4

Contoh Soal 3

Layanan parkir di sebuah pusat perbelanjaan menetapkan tarif parkir awal sebesar Rp2.000 untuk sepeda motor. Lalu, biaya parkir selanjutnya diteruskan sebesar Rp1.000 per jam. 

Budi mulai memarkir sepeda motornya di tempat parkir pusat perbelanjaan pada pukul 10.00 WIB dan mengambil kembali motornya pada pukul 18.00 WIB.

Berapakah biaya parkir yang harus Budi bayar?

Pembahasan

Kita membuat permisalan yaitu.

Tarif parkir sepeda motor = f(x)

Tarif parkir sepeda motor per jam = x

Maka,

x = pukul 11.00 WIB ke 18.00 WIB = 7 jam

x = 7

f(x) = 1.000x + 2.000

f(7) = 1.000(7) + 2.000

f(7) = 7.000 + 2.000

Jadi, f(7) = Rp9.000

Jadi, biaya parkir sepeda motor total yang harus Budi bayar dari jam 11.00 hingga jam 18.00 adalah Rp9.000.

Contoh Soal 4

Terdapat suatu fungsi linear yaitu f(x) = 4x + b. Tentukan bentuk fungsi linier tersebut jika diketahui f(10) = 48.

Pembahasan

f(x) = 4x + b

f(10) = 4(10) + b = 48

40 + b = 48

b = 48-40 

b = 8

Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 4x + 8

Contoh Soal 5

Sebuah warnet menetapkan tarif awal untuk menyewa komputer sebesar Rp10.000. Selanjutnya, biaya sewa komputer selanjutnya akan dikenakan biaya sebesar Rp7.000 per jam. Ucok ingin menyewa komputer dari jam 12.00 WIB hingga pukul 20.00 WIB untuk mengerjakan tugas makalah. 

Berapa biaya sewa komputer yang harus Ucok bayar ke pihak warnet?

Pembahasan

Kita membuat permisalan yaitu.

Tarif sewa komputer di warnet = f(x)

Tarif sewa komputer per jam = x

Maka,

x = pukul 12.00 WIB ke 20.00 WIB = 8 jam

x = 8

f(x) = 7.000x + 10.000

f(8) = 7.000(8) + 10.000

f(8) = 56.000 + 10.000

Jadi, f(8) = Rp66.000

Jadi, biaya sewa komputer total yang harus Ucok bayar ke pihak warnet setelah menyewa dari jam 12.00 hingga jam 20.00 adalah Rp66.000.

Contoh Soal 6

Terdapat suatu fungsi linear yaitu f(x) = 5x + b. Tentukan bentuk fungsi linier tersebut jika diketahui f(5) = 30.

Pembahasan

f(x) = 5x + b

f(5) = 5(5) + b = 30

25 + b = 30

b = 30-25 

b = 5

Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 5x + 5

Baca Juga : Persamaan Linear Dua Variabel: Metode Grafik dan Substitusi

Memahami Fungsi Linear Itu Mudah, Bukan?

Persamaan garis lurus adalah salah satu konsep ilmu dari mata pelajaran Matematika yang biasanya kamu pelajari di bangku SMA.  Persamaan garis lurus tidak terlepas dari tentang variabel, konstanta dan koefisien. Di samping itu, konsep ini juga berkaitan dengan penggambaran grafik.

Oleh sebab itu, kamu perlu memahami dan menghapal enam unsur penting terkait penggambaran grafik untuk konsep PGL. 

Fungsi linear dapat diterapkan dalam berbagai analisis di kehidupan nyata, seperti yang para pebisnis dan ekonom lakukan di sektor ekonomi. Bahkan, konsep ini dapat memudahkan kamu melakukan berbagai perhitungan untuk berbagai kasus sederhana dalam kehidupan, seperti pada contoh soal nomor 3 dan 5 di atas.

Fungsi trigonometri dalam ilmu matematika, yakni mempelajari tentang fungsi dari sebuah sudut, untuk menghubungkan antara sudut-sudut dan sisi-sisi yang ada di sebuah segitiga. Berbicara tentang trigonometri, tentu membuat kamu ingat dengan istilah sudut istimewa maupun rumus sin cos tan. 

Ada cara yang mudah untuk mengingat dan memahami terkait sudut-sudut dalam trigonometri melalui tabel sudut istimewanya. Kamu juga bisa mengingat apakah nilai sin, cos, dan tan berupa positif atau negatif di setiap kuadran. Untuk memperdalam pemahaman kamu, simak terus ulasan di bawah ini!

Pengertian Rumus Sin Cos Tan dalam Trigonometri

Trigonometri merupakan suatu ilmu yang mempelajari seputar sudut dan fungsinya. Kamu bisa mempelajari trigonometri untuk mengetahui hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisi segitiga yang disebut fungsi trigonometri. Sementara fungsi dasar dari trigonometri, antara lain sin, cos, tan, cot, sec, dan cosec.

Dalam hal ini, segitiga dalam fungsi trigonometri berupa segitiga siku-siku, dimana terdapat satu sudut yang bernilai 90 derajat. Sisi segitiga siku-siku yang terdiri dari sisi tegak lurus, sisi miring, dan sisi alas nantinya digunakan untuk menentukan nilai sin, cos, dan tan.

Rumus Sin Cos Tan

Berikut penjelasan dari rumus dasar sinus, cosinus, dan tangen yang perlu kamu pahami:

1. Sinus (Sin)

Sin atau sinus merupakan perbandingan panjang segitiga antara sisi yang berada di depan sudut, dengan sisi miring pada segitiga siku-siku. Jadi, rumusnya berupa depan/miring (Sin α = b/c).

2. Cosinus (Cos)

Cos atau cosinus merupakan perbandingan panjang segitiga, antara sisi samping sudut dan sisi miring pada segitiga siku-siku. Sehingga, rumusnya adalah samping/miring (Cos α = a/c).

3. Tangen (Tan)

Tan atau tangen adalah perbandingan panjang sisi segitiga yang berada di depan sudut dan sisi samping pada segitiga siku-siku. Rumusnya yaitu depan/samping (Tan α = b/a).

Baca Juga : Turunan Fungsi Trigonometri: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Sudut Istimewa Rumus Sin Cos Tan

Kamu tentu sudah tahu jika segitiga memiliki tiga sisi yang berada di depan, samping, dan miring. Jumlah total sudut yang terbentuk dalam bangun segitiga adalah 180 derajat. Nah, di antara berbagai sudut dalam segitiga, terdapat beberapa sudut istimewa. Sudut istimewa ini biasanya digunakan dalam fungsi trigonometri.

Sudut istimewa merupakan sudut yang mempunyai nilai perbandingan trigonometri dan dapat diketahui dengan cara mudah dan cepat. Bahkan, tanpa menggunakan kalkulator. Sudut istimewa tersebut antara lain 0, 30, 45, 60, dan 90 derajat. Setiap sudut istimewa ini mempunyai rumus sin, cos, tan yang berbeda di setiap kuadran.

Selain itu, apabila terdapat sudut selain sudut istimewa dan ingin kamu ubah menjadi sudut istimewa, maka gunakan nilai sudut 90, 180, 270, dan 360 derajat sebagai patokan. Ini agar sudut tersebut mengandung sudut istimewa di kuadran I. 

Apabila kamu menggunakan dasar nilai sudut 90 dan 270, maka konsepnya berubah, yaitu sin menjadi cos, tan menjadi cotan, dan cos menjadi sin. Jika kamu menggunakan nilai sudut 180 dan 360 derajat, maka tidak ada perubahan nilai.

Baca Juga : Sudut Istimewa Trigonometri: Contoh Soal & Pembahasannya

Tabel Rumus Sin Cos Tan

Berikut ini beberapa ketentuan penghitungan sin, cos, dan tan berdasarkan masing-masing kuadran:

1. Tabel Kuadran I

Sudut	sin	cos	tan
0o	0	1	0
30o	1/2	1/2√ 3	1/3√ 3
45o	1/2√ 2	1/2√ 2	1
60o	1/2√ 3	1/2	√ 3
90o	1	0	~

2. Tabel Kuadran II 

Sudut	sin	cos	tan
90o	1	0	Tak terdefinisi
120o	1/2√3	-1/2	-√3
135o	1/2√2	-1/2√2	-1
150o	1/2	-1/2√3	-1/3√3
180o	0	-1	0

3. Tabel Kuadran III 

Sudut	sin	cos	tan
180o	0	-1	0
210o	-1/2	-1/2√3	1/3√3
225o	-1/2√2	-1/2√2	1
240o	-1/2√3	-1/2	√3
270o	-1	0	Tak terdefinisi

4. Tabel Kuadran IV 

Sudut	sin	cos	tan
270o	-1	0	Tak terdefinisi
300o	-1/2√3	1/2	-√3
315o	-1/2√2	1/2	-1
330o	-1/2	1/2√2	-1/3√3
360o	0	1	0

Ketentuan Kuadran pada Rumus Sin Cos Tan

Tidak hanya sudut istimewa, ada pula konsep kuadran untuk menentukan nilai sin, cos, dan tan bernilai positif atau negatif. Berikut ini ketentuannya:

1. Kuadran I

Area pada kuadran I terdiri dari sudut istimewa 0, 30, 45, 60, dan 90 derajat. Pada kuadran ini, menunjukkan nilai dari sin, cos, dan tan positif. Agar lebih mudah mengingatnya, kamu bisa menggunakan kata kunci “Semua”.

2. Kuadran II

Area pada kuadran II terdiri dari sudut istimewa 90, 120, 135, 150, dan 180 derajat. Pada kuadran II menunjukkan nilai sin positif. Sedangkan nilai cos dan tan negatif. Jadi, kamu bisa mengingatnya dengan kata kunci “Sindikat”.

3. Kuadran III

Area pada kuadran III terdiri dari sudut 180, 210, 225, 240, dan 270 derajat. Pada kuadran III menunjukkan hanya nilai tan yang positif. Kamu bisa mengingatnya dengan kata kunci “Tangan”.

3. Kuadran IV

Area pada kuadran IV terdiri dari sudut 270, 300, 315, 330, dan 360 derajat. Pada kuadran IV menunjukkan hanya nilai cos yang positif. Sedangkan nilai sin dan tan negatif.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut beberapa contoh soal dan pembahasannya untuk membantu kamu dalam menerapkan rumus sin cos tan untuk berbagai situasi:

Contoh 1 

Diketahui sebuah segitiga siku-siku, dimana salah satu sudutnya 60 derajat dan panjang sisi miring 12 cm. Berapakah panjang sisi depan sudut (d)?

Pembahasan:

Cara mendapatkan nilai panjang sisi depan sudut pada segitiga bisa menggunakan persamaan sin seperti berikut.

Sin 60 derajat = d/12 

1/2 √3 = d/12 

12/2 √3 = d 

d = 6√3 cm

Jadi, panjang sisi depan sudut (d) pada segitiga tersebut adalah 6√3 cm.

Contoh 2

Tentukan nilai trigonometri dari tan 315.

Pembahasan:

Pertama, kamu perlu mengetahui jika sudut 315 derajat berada di kuadran IV, sehingga nilainya negatif. Berikut ini cara menghitungnya:

tan(315^o) = tan(360^o – 45^o) 

tan(360^o – 45^o)= – tan(45^o)

tan(315^o) = -1

Jadi, nilai dari tan 315 adalah -1.

Contoh 3

Tentukan nilai dari cos 210!

Pembahasan:

Pertama, kamu harus mengetahui bahwa sudut 210 berada di kuadran III. Aturan kuadran III adalah hanya tan yang bernilai positif, itu artinya nilai cos adalah negatif.

Kedua, karena tidak termasuk sudut istimewa, maka kamu perlu menghitung sudut terdekat dari sudut 210 pada tabel sudut istimewa. Nilai sudut terdekatnya adalah 180 derajat. Berikut perhitungan selanjutnya:

Cos 210 = cos (180 + 30) 

Cos 210 = -cos 30  = -½√3

Jadi, nilai cos 210 adalah -½√3.

Contoh 4

Tentukan nilai trigonometri dari sin 210.

Pembahasan:

Sudut 210 terletak di kuadran III sehingga sin bernilai negatif. Berikut ini cara selanjutnya:

Sin (210^o) = sin (180^o + 30^o) 

Sin (180^o + 30^o) = -sin(30^o)

= -1/2 

Jadi, nilai dari sin 210 adalah -1/2.

Sudah Lebih Paham Seputar Rumus Sin Cos Tan?

Pada dasarnya, sinus, cosinus, dan tangen adalah bagian utama dari trigonometri. Ada beberapa sudut istimewa yang bisa menjadi acuan dalam menentukan nilai sudutnya, seperti 0, 30, 45, 60, dan 90 derajat. Kamu juga bisa mengetahui sin, cos, tan bernilai positif atau negatif melalui aturan di kuadran I, II, III, dan IV.

Turunan fungsi aljabar adalah salah satu konsep penting dalam operasi hitung matematika. Sebab, turunan berguna untuk menggambarkan perubahan suatu fungsi dalam variabel independennya. Dengan menggunakan turunan, kita dapat memahami bagaimana fungsi berubah ketika variabel lainnya berubah. 

Konsep ini memiliki berbagai sifat, rumus, dan contoh soal yang berguna dalam mempelajari dan menerapkan turunan dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Artikel ini akan menjelaskan semua konsep turunan fungsi aljabar dan memberikan contoh-contoh untuk memperjelas konsep tersebut.

Pengertian Turunan Fungsi Aljabar

Turunan fungsi aljabar adalah konsep dalam kalkulus untuk menghitung perubahan fungsi terkait perubahan variabel inputnya. Evaluasi turunan fungsi pada titik tertentu melibatkan penggunaan aturan-aturan dengan mempertimbangkan batas. 

Fungsi f(x) memiliki turunan di setiap titik, yang mana menghasilkan fungsi baru bernama turunan f (dilambangkan dengan f’, df/dx, atau f'(x)). Turunan ini memberikan informasi tentang bagaimana nilai fungsi tersebut berubah saat variabel x berubah, dan dapat dihitung dengan menggunakan berbagai aturan yang ada.

Fungsi aljabar yaitu fungsi dalam bentuk polinomial atau kombinasinya yang melibatkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Turunan fungsi aljabar memberi informasi tingkat perubahan fungsi pada tiap titik persamaan diferensial. 

Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Berikut adalah beberapa sifat-sifat turunan fungsi aljabar yang perlu Anda pahami:

1. Turunan Konstanta

Jika f(x) adalah fungsi konstanta, maka turunannya adalah nol, yaitu f'(x) = 0.

2. Turunan Fungsi Identitas

Secara teori, turunan fungsi identitas akan berlaku jika f(x) = x, maka turunannya adalah 1, yaitu f'(x) = 1.

3. Turunan Fungsi Pangkat

Jika f(x) = xⁿ, dengan n adalah bilangan bulat positif, maka turunannya adalah f'(x) = nx^(n-1).

4. Turunan Fungsi Penjumlahan

Jika f(x) = g(x) + h(x), maka turunannya adalah f'(x) = g'(x) + h'(x).

5. Turunan Fungsi Selisih atau Pengurangan 

Secara teori, turunan fungsi selisih atau pengurangan akan berlaku jika f(x) = g(x) – h(x), maka turunannya adalah f'(x) = g'(x) – h'(x).

6. Turunan Fungsi Perkalian 

Jika f(x) = g(x) . h(x), maka turunannya adalah f'(x) = g'(x) . h(x) + g(x) . h'(x).

7. Turunan Fungsi Pembagian

Jika f(x) = g(x) / h(x), maka turunannya adalah f'(x) = (g'(x) . h(x) – g(x) . h'(x)) / h(x)².

8. Turunan Fungsi Komposisi

Jika f(x) adalah fungsi yang dikomposisikan dengan g(x), maka turunannya dapat dihitung dengan menggunakan aturan rantai (chain rule) yang menggabungkan turunan dari fungsi luar dan fungsi dalam.

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Dalam matematika, ada satu rumus dasar yang berguna untuk menghitung turunan fungsi aljabar. Berikut adalah rumusnya:

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar

Turunan aljabar ini memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang matematika, ilmu pengetahuan, teknik, dan ekonomi. Berikut ini adalah beberapa aplikasi umumnya:

1. Persamaan Garis Singgung

Salah satu aplikasi penting dari turunan fungsi aljabar adalah untuk menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva. Garis singgung merupakan garis yang menyentuh kurva pada suatu titik tertentu (a, b) dan memiliki kemiringan (gradien) yang sama dengan turunan fungsi pada titik tersebut, yaitu f'(a).

Garis singgung ini juga dikenal sebagai garis normal, dan gradien garis normal pada titik (a, b) dapat dihitung dengan rumus:

Dengan menggunakan rumus ini, kita dapat menemukan persamaan garis normal pada titik (a, b) pada kurva y = f(x), yang dapat diformulasikan sebagai:

Dengan demikian, turunan fungsi membantu kita dalam menemukan garis singgung atau garis normal pada kurva. Ini merupakan aplikasi penting dalam berbagai konteks matematika dan ilmu terapan lainnya.

2. Menggambar Grafik

Turunan fungsi aljabar juga sangat berguna dalam menggambar grafik. Penggunaannya pun sangat sederhana dan efektif untuk menentukan kondisi naik atau turunnya grafik suatu fungsi. 

Misalnya, jika ada dua titik x1 dan x2 di antara dua nilai a dan b (dengan x1 < x2), dan nilai fungsi pada kurang dari nilai fungsi pada x2. Maka grafik fungsi tersebut naik antara x1 dan x2.

Sebaliknya, jika x1 dan x2 berada di antara a dan b (dengan x1< x2), dan nilai fungsi pada x1 lebih besar dari nilai fungsi pada x2.  Maka grafik fungsi tersebut turun antara x1 dan x2.

Kita dapat dengan mudah menggambarkan bagaimana grafik fungsi berperilaku antara dua nilai tertentu dan membantu kita memahami karakteristik grafik dengan cepat dan efisien.

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Berikut adalah beberapa contoh soal tentang turunan fungsi aljabar beserta pembahasannya yang bisa meningkatkan pemahaman kamu:

1. Contoh Soal 1

Temukan turunan dari fungsi x + (1/x)!

Pembahasan:

Misalkan f(x) = x dan g(x) = 1/x. Dengan menggunakan aturan penjumlahan diferensiasi, maka:

d/dx [f(x) + g(x)] = d/dx f(x) + d/dx g(x)

d/dx [x + (1/x)] = d/dx (x) + d/dx (1/x)

= 1 + (-1/x2)

= 1 – (1/x2)

2. Contoh Soal 2

Temukan turunan dari (5x³ – 3x + 1)(x + 1)!

Pembahasan:

Misalkan f(x) = (5x³ – 3x + 1) dan g(x) = (x + 1). Dengan menggunakan aturan produk diferensiasi, maka:

d/dx [f(x) .g(x)] = f(x) [d/dx g(x)] + g(x) [d/dx f(x)]

= (5x³ – 3x + 1) [d/dx (x + 1)] + (x + 1) [d/dx (5x³ – 3x + 1)]

= (5x³ – 3x + 1) (1 + 0) + (x + 1)[5(3x²) – 3(1) + 0]

Kemudian, hitungan akan menjadi:

= (5x³ – 3x + 1) + (x + 1)(15×2 – 3)

= 5x³ – 3x + 1 + 15x³ – 3x + 15x² – 3

Jadi, hasil akhirnya adalah:

= 20x³ + 15x² – 6x – 2

3. Contoh Soal 3

Temukan turunan dari sin x – cos x!

Pembahasan:

Misalkan f(x) = sin x dan g(x) = cos x. Dengan menggunakan aturan perbedaan diferensiasi, maka:

d/dx [f(x) – g(x)] = d/dx f(x) – d/dx g(x)

d/dx (sin x – cos x) = d/dx (sin x) – d/dx (cos x)

= cos x – (-sin x)

= cos x + sin x

4. Contoh Soal 4 

Temukan turunan dari y = cos (3x -1)!

Pembahasan:

Dengan menggunakan aturan turunan berantai, turunan dari y = cos (3x -1) adalah sebagai berikut:

y = cos (3x -1)

y ‘ = -sin (3x -1) . 

Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x -1

Jadi hasil akhirnya yaitu y’ = -3 sin (3x -1)

5. Contoh Soal 5

Temukan turunan dari y = sin (2x + 5)!

Pembahasan:

Dengan mengaplikasikan sifat turunan berantai, maka untuk y = sin (2x + 5) adalah:

y‘ = cos (2x + 5) . 2  

Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5. Jadi hasil akhirnya yaitu y’ = 2 cos (2x + 5)

6. Contoh Soal 6

Temukan turunan dari y = sin 2 (2x -1)!

Pembahasan:

Dengan mengaplikasikan sifat turunan berantai, maka untuk y = sin2 (2x -1)

y’ = 2 sin 2-1 (2x -1) . cos (2x -1) . 2

y’ = 2 sin (2x -1) . cos (2x -1) . 2

Jadi hasil akhirnya yaitu y’ = 4 sin (2x -1) cos (2x -1)

Baca Juga : Turunan Fungsi Trigonometri: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Sudah Paham Konsep Turunan Fungsi Aljabar?

Dalam matematika, turunan fungsi aljabar memainkan peran penting dalam memahami perubahan dan perilaku fungsi. Dengan menggunakan konsep turunan, kita dapat menghitung tingkat perubahan fungsi pada setiap titik, menentukan gradien garis singgung, menggambarkan grafik fungsi, dan lain sebagainya. 

Turunan juga berguna dalam berbagai bidang ilmu, seperti fisika, ekonomi, hingga ilmu komputer untuk menganalisis perubahan dan tren. Dengan mempelajari sifat-sifat turunan dan menguasai rumus-rumusnya, kita dapat mengaplikasikan turunan fungsi aljabar dalam berbagai masalah dan situasi. Dengan demikian, pemahaman tentang turunan fungsi aljabar merupakan pondasi penting dalam mempelajari kalkulus dan matematika lebih dalam lagi. Selamat belajar!

Dalam bidang ilmu Matematika, kamu belajar tentang pertidaksamaan linear, dan juga persamaannya di samping berbagai materi lainnya. Materi ini bisa saja terlihat sulit, lo. Nah, supaya kamu lebih mudah memahaminya, kamu bisa mengikuti ulasannya di bawah ini! Yuk, kita bahas tentang salah satu bidang yang ada di pelajaran matematika ini!

Pertidaksamaan Linear, Apa Itu?

Sederhananya, pertidaksamaan linear adalah salah satu cabang materi di pelajaran matematika yang berasal dari dua kata – pertidaksamaan dan linier. Secara sederhana, artinya mengacu pada kalimat matematis terbuka yang memiliki kandungan berderajat satu serta menggunakan tanda atau simbol yang khas. 

Kalau persamaan linier identik dengan simbol (=) atau “sama dengan”, dalam konsep pertidaksamaannya, kamu akan sering bertemu dengan beberapa simbol matematika seperti:

• lebih dari (>),
• kurang dari (<),
• lebih dari atau sama dengan (≥), dan
• kurang dari atau sama dengan (≤).

Pada dasarnya, itulah yang membedakan konsep pertidaksamaan dan persamaan linier.

Lalu, apa arti dari kata linier itu sendiri?

Linier bisa kamu artikan sebagai bentuk aljabar yang memiliki variabel pangkat tertinggi, yaitu satu. Kamu bisa memahami konsep pertidaksamaan tersebut dalam sebuah pernyataan sebagai berikut. 

“Siswa dinyatakan lulus ujian jika memperoleh nilai sekurang-kurangnya adalah 80”.

Nah, kalau kamu tulis dengan model matematika, maka bentuknya adalah x ≥ 80. Arti dari model matematika tersebut adalah jika nilai yang kamu peroleh 80 atau lebih, kamu akan lulus.

Lalu, adakah peran pertidaksamaan linear di kehidupan nyata?

Rupanya, konsep yang satu ini juga memiliki banyak peran di berbagai bidang kehidupan dan sering menjadi metode untuk menyelesaikan masalah sehari-hari. 

Contohnya, seperti melakukan perkiraan atau ramalan penjualan produk ataupun perhitungan pengeluaran minimal dari pembelian barang.

Perlu kamu ketahui bahwa konsep pertidaksamaan memiliki dua ragam, yaitu jenis yang hanya punya satu variabel, adan yang memiliki dua variabel. Apa bedanya?

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Pertama-tama, kita akan memahami dulu apa itu sebenarnya kalimat matematika terbuka linear satu variabel.

Jenis pertidaksamaan satu variabel ini hanya memuat satu variabel atau peubah, dengan satu sebagai pangkat tertingginya.

Bagaimana bentuk umumnya? Berikut adalah bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu variabel:

ax + b > c, ax + b < c, ax + b ≥ c, ax + b ≤ c

Keterangan:

• (a): koefisien dari variabel (x),
• (x): variabel,
• (b) dan (c): konstanta,
• (<),( >), (≤), (≥) : tanda pertidaksamaan.

Apa saja Sifat Pertidaksamaan linear Satu Variabel?

Kamu perlu mengenal beberapa sifat utama dari jenis pertidaksamaan yang satu ini. 

1. Tanda Pertidaksamaan Tidak Berubah Jika Ada Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Operasi penjumlahan atau pun pengurangan di kedua ruas sering kamu gunakan untuk memecahkan masalah pertidaksamaan yang satu ini.

Nah, penjumlahan atau pengurangan yang kamu lakukan pada tiap ruas ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaannya. Berikut adalah contoh soal yang akan membantu kamu memahami sifat ini. 

4x + 5 > 21 (kedua ruas kamu kurangi dengan 5)

Jadi, 4x + 5 – 5 > 21 – 5

4x > 16

x > 4

Terkadang, kamu perlu melakukan operasi penjumlahan maupun pengurangan pada tiap ruas dengan tujuan agar kamu bisa menyederhanakan pertidaksamaan tersebut, sehingga lebih mudah untuk menyelesaikannya. 

2. Tanda Pertidaksamaan Tidak Berubah Jika Operasi Perkalian Bilangan Positif

Selain penjumlahan dan pengurangan, kamu juga bisa melakukan operasi perkalian dengan bilangan positif di kedua ruas pertidaksamaan linear. Jika kamu melakukan itu, tanda pertidaksamaan tidak berubah

Nah, agar kamu lebih bisa memahaminya, perhatikan contoh di bawah ini.

1/5x < 5, dengan x adalah himpunan bilangan asli

Untuk menyederhanakannya, kamu bisa mengalikan kedua ruas tersebut dengan 5

1/5x . 5 < 5 . 5

x < 25

3. Tanda Pertidaksamaan Berubah Jika Operasi Perkalian Bilangan Negatif

Berbeda dengan perkalian bilangan positif, jika kamu melakukan perkalian bilangan negatif pada kedua ruas pertidaksamaan, maka tandanya pun akan berubah. Amati contoh di bawah ini. 

-4x + 6 ≤ 10, kedua ruas dikurangi 6 dahulu

Jadi, -4x + 6 – 6 ≤ 10 – 6

-4x ≤ 4, kemudian kedua ruas dikali -1

4x ≥ -4

Coba kamu perhatikan! Ternyata, tanda pertidaksamaan linear yang awalnya (≤) berubah menjadi (≥).

Contoh Soal pertidaksamaan linear Satu Variabel

Agar kamu bisa menyelami konsep dasar hingga sifat dari jenis pertidaksamaan yang pertama dengan lebih baik, mari membahas contoh soal yang menggunakan konsep ini. Sudah siap?

Contoh Soal 

Abdi memiliki 10 butir telur dan Budi memiliki 15 butir telur. Karena satu hal, Abdi dan Budi setuju untuk memberikan telur mereka kepada Deni dengan jumlah yang sama.

Jika sisa telur yang Abdi miliki sekurang-kurangnya dua kali sisa telur Budi, berapa jumlah total telur yang Deni terima?

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kamu bisa menggunakan konsep pertidaksamaan linear satu variabel. Sebagai contoh, jumlah telur yang Deni terima dari Abdi dan Budi adalah x, sehingga, operasi perhitungannya menjadi seperti berikut ini. 

15 – x ≤ 2(10-x)

15 – x ≤ 20 – 2x

-x + 2x ≤ 20 – 15

x ≤ 5

Ini artinya, jumlah telur yang Abdi dan Budi berikan pada Deni masing-masing adalah 5 butir.

Jadi, kita bisa mengetahui bahwa total telur yang Deni peroleh dari Abdi dan Budi adalah 10 butir.

Pertidaksamaan linear Dua Variabel

Kalau kamu ingat kembali, pertidaksamaan linear satu variabel hanya memuat satu variabel atau peubah. Sedangkan, jenis pertidaksamaan dua variabel memiliki dua variabel atau peubah dengan pangkat variabel tertinggi adalah satu.

Di bawah ini adalah bentuk umum dari jenis pertidaksamaan yang kedua ini. 

ax + by > c, ax + by < c, ax + by ≥ c, ax + by ≤ c

Keterangan:

• (a): koefisien dari variabel (x),
• (x) dan (y): variabel,
• (b) dan (c): konstanta,
• (<), (>), (≤), (≥) : tanda pertidaksamaan.

Bentuk pertidaksamaan ini pada dasarnya merupakan daerah pada sistem koordinat kartesius yang dibatasi oleh garis. Nah, daerah itu memiliki nama “daerah penyelesaian”.

Agar kamu bisa memahaminya, yuk perhatikan beberapa contoh yang akan dijelaskan di bawah ini. 

1. Metode Uji Titik

Misalnya ada pertidaksamaan linear dua variabel – ax +by ≤ c. Berikut merupakan langkah yang bisa kamu kerjakan

a. Gambar grafik ax + by = c

b. Perhatikan tandanya. Jika (≤) atau (≥), gambar garis pembatas secara penuh. Jika (<) atau (>), gambar garis pembatas secara putus-putus.

c. Kamu sekarang bisa uji titik. Ambil sembarang titik misal (x1,y1) dan (x2,y2). Lalu, masukkan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan.

d. Terdapat dua kemungkinan. Jika hasilnya ketidaksamaannya benar, daerah penyelesaian ada di daerah yang memuat titik (x1,y1) dengan garis batas ax + by = c. Jika bernilai salah, daerah penyelesaiannya tidak memuat titik (x1,y1).

2. Perhatikan Tanda Ketidaksamaan

Ada dua hal yang perlu kamu perhatikan pada tanda ketidaksamaan. 

a. Pastikan koefisien (x) bernilai positif. JIka tidak, kalikan dengan -1. Ingat, setelah kamu kalikan -1, maka tanda ketidaksamaan akan berubah.

b. Jika sudah positif, perhatikan tandanya.

c. Jika tanda (<) atau (≤), maka daerah penyelesaian ada di kiri garis pembatas

d. Jika tandanya (>) atau (≥), maka daerah penyelesaiannya ada di kanan garis pembatas.

Nah, setelah kamu memahami prinsip pertidaksamaan linear dua variabel, yuk kita langsung lihat contoh soal agar pemahamanmu makin baik.

Baca Juga : Persamaan Linear Dua Variabel: Metode Grafik dan Substitusi

Contoh Soal Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Simak contoh soal berikut ini supaya kamu bisa lebih mengerti konsep pertidaksamaan dengan dua variabel dari penjelasan sebelumnya. 

Contoh Soal 

Tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel ini 5x + 4y > 20

Pembahasan

Jika y = 0, 5x = 20

x = 4

Jika x = 0, 4y = 20

y = 5

Gambar grafik dengan titik (4,5). Lalu, arsir sesuai daerah tanda pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linear Mudah, Bukan?

Secara umum, lawan dari persamaan linear ini adalah salah satu materi yang paling sering keluar saat ujian. Oleh sebab itu, pemahaman konsep ini dapat  membantumu untuk bisa mengerjakan dan menyelesaikan soal dengan baik.Namun, manfaat pemahaman terhadap konsep matematis ini tidak hanya sebatas nilai di atas kertas. Konsep pertidaksamaan linear sebetulnya bermanfaat di banyak sektor kehidupan, terutama yang berkaitan dengan bisnis.

Rumus bangun ruang adalah salah satu pelajaran matematika yang wajib dipelajari ketika masih duduk di bangku sekolah. Ketika berbicara tentang bangun ruang, pasti yang terlintas di benak adalah kubus dan balok. Namun tidak hanya itu saja, bangun ruang memiliki beragam jenis seperti kerucut, bola, tabung, dan limas. 

Lantas apa saja rumus bangun ruang? Simak artikel di bawah ini!

Pengertian Bangun Ruang

Secara sederhana, bangun ruang itu sendiri merupakan bangun dengan tiga dimensi yang memiliki volume atau isi. Terdapat tiga unsur tertentu pada bangun ruang, yaitu rusuk, titik sudut, dan bidang sisi. 

Selain itu, bangun ruang memiliki berbagai jenis berdasarkan bentuk bidangnya. Jenis pertama yaitu bangun ruang bidang datar yang terdiri dari kubus, balok, limas, dan prisma. Sementara itu, jenis lainnya yaitu bangun ruang bidang lengkung yang meliputi 3 jenis bangun, yakni bola, kerucut, dan tabung. 

6 Rumus Bangun Ruang: Volume dan Luas Permukaan

Berikut ini adalah rumus bangun ruang untuk mencari volume dan luas permukaan pada kubus, kerucut, dan limas. 

1. Kubus

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang tersusun dari 6 sisi (s) berbentuk persegi dengan ukuran yang sama. Kubus juga termasuk ke dalam bangun ruang sisi datar yang mempunyai 8 titik sudut dan 12 rusuk dengan panjang yang sama.

Contoh dari kubus dalam kehidupan sehari-hari yaitu dadu, kardus, gula batu, blok lego, dan lain sebagainya. Adapun sifat-sifat kubus antara lain:

• Memiliki 6 sisi, 8 titik sudut, dan 12 rusuk sama panjang
• Sisi kubus berbentuk persegi
• Mempunyai 6 diagonal yang sama berbentuk persegi panjang
• Besar diagonal berbeda-beda

Rumus volume kubus tertulis seperti ini:

a. Volume Kubus

• V = s x s xs atau V = s3

Sedangkan rumus luas permukaan kubus yaitu dengan menambahkan semua luas pada masing-masing sisi. Rumusnya adalah:

b. Luas Permukaan Kubus

• L = 6 x (s x s) 

Keterangan: 

s = panjang rusuk atau sisi

V = Volume

L = Luas permukaan

2. Kerucut

Rumus bangun ruang selanjutnya yaitu kerucut. Ini adalah bangun ruang tiga dimensi yang memiliki alas bundar dan sebuah bidang lengkung yang menjuntai ke atas. Kerucut hampir sama dengan tabung yang termasuk ke dalam bangun ruang sisi lengkung. 

Adapun contoh kerucut dalam kehidupan sehari-hari yaitu topi ulang tahun, tutup saji, kukusan, cone ice cream, caping, dan lain sebagainya. Kerucut memiliki beberapa sifat, diantaranya:

• Memiliki 2 bidang sisi yang berbeda
• Satu sisi berbentuk lingkaran dan sisi lainnya berbentuk melengkung
• Tidak memiliki bidang diagonal
• Hanya memiliki satu buah titik sudut sebagai titik puncak

Rumus volume kerucut yaitu:

a. Volume Kerucut

• V = ⅓  x x r x r x t

Sementara itu cara menghitung luas permukaan kerucut yaitu dengan menghitung luas lingkaran yang dijumlahkan dengan luas lengkungan. Rumusnya menjadi seperti ini:

b. Luas Permukaan Kerucut

• L = ( x r x r) + ( x r x s)

Nilai s dapat dihitung menggunakan rumus phytagoras, sebagai berikut:

• s = r kuadrat + t kuadrat

Keterangan:

= Nilai phi adalah 22/7 untuk jari-jari kelipatan 7. Sedangkan untuk jari-jari selain kelipatan 7 menggunakan 3,14.

r = jari jari

t = tinggi

s = panjang rusuk atau garis pelukis. Dalam kerucut, garis pelukis yaitu garis yang menghubungkan titik puncak dengan titik keliling alas kerucut. 

Baca Juga : Rumus Volume Kerucut: Contoh Soal dan Pembahasannya

3. Limas Segitiga

Bangun ruang berjenis limas memiliki sisi alas berbentuk sebuah segi banyak dan bangun segitiga yang mengerucut ke ke atas. Contoh limas dalam kehidupan sehari hari yaitu atap rumah, tenda, nasi bungkus, dan piramida Mesir. 

Sementara itu, limas dikelompokkan menjadi beberapa jenis berdasarkan bentuk alasnya, seperti seperti limas segitiga, limas segi empat, limas segi lima, limas segi enam, dan lain sebagainya. Mari kita bahas satu per satu dimulai dari limas segitiga. 

Limas segitiga memiliki beberapa sifat, seperti:

• Memiliki alas berbentuk segitiga
• Mempunyai bidang sisi tegak berbentuk segitiga
• Memiliki 4 buah titik sudut, 4 buah bidang sisi, dan 6 buah rusuk
• Tinggi limas segitiga terhitung dari jarak antara bidang alas dan titik puncak

Sementara itu, volume dan luas permukaan limas segitiga dapat dicari menggunakan rumus sebagai berikut:

a. Volume Limas Segitiga

• V = ⅓ x L alas x t 

V = ⅓ x (½ as x ts) x t

b. Luas Permukaan Limas Segitiga

• L = L alas + L△I + L△II + L△III

Keterangan:

L alas = Luas alas 

as = alas segitiga

ts = tinggi segitiga

t = tinggi 

L△ = Luas selubung limas yang berbentuk segitiga

Baca Juga : Rumus Limas Segitiga Beserta Contoh Soal dan Pembahasan

4. Limas Segi Empat

Limas segi empat memiliki alas berbentuk segi empat yang bisa berupa persegi, persegi panjang, jajar genjang, atau segi empat lainnya. Sementara itu, sifat-sifat dari bangun ruang limas segi empat, yaitu:

• Memiliki 5 titik sudut dan 8 rusuk
• Terdiri dari 5 buah sisi yang terdiri dari 1 sisi alas dan 4 sisi tegak
• Sisi alas berbentuk segi empat
• Mempunyai 4 sisi tegak berbentuk segitiga

Berikut adalah rumus volume dan luas permukaan dari limas segi empat:

a. Volume Limas Segi Empat

• V = ⅓ x La x t 

b. Luas Permukaan Limas Segi Empat

• Luas permukaan limas segi empat = luas alas + luas sisi

L = La + L△ I + L△ II + L△ III + L△ IV

Keterangan:

La = Luas alas

L△ = Luas segitiga

Baca Juga : Limas Segi Empat: Sifat, Rumus, Latihan Soal, dan Pembahasan

Latihan Soal dan Pembahasan

Setelah mengetahui rumus luas permukaan dan volume dari kubus, limas, dan kerucut, saatnya mengaplikasikan rumus tersebut dengan latihan soal di bawah ini. Cobalah untuk praktik mengerjakan soal agar kamu bisa belajar dan memahami rumus bangun ruang. 

Contoh Soal Kubus

Sebuah kubus diketahui memiliki panjang rusuk 15 cm. Hitung berapa volume kubus tersebut!

Jawaban: 375 cm3

Pembahasan: 

Diketahui r = 15 cm

Ditanya= volume?

V = r x r x r = 15 x 15 x 15 = 375

Maka, volume kubus tersebut adalah 375 cm3

Contoh Soal Kerucut

Diketahui sebuah kerucut memiliki jari-jari 7 cm, tinggi 9 cm, dan garis pelukis 12 cm. Berapakah volume dan luas permukaannya?

Jawaban: Volume = 462 cm3, Luas permukaan = 418 cm2.

Pembahasan: 

V = ⅓ x x r x r x t

V = ⅓ x 22/7 x 7 x 7 x 9

V = 462 cm3

Untuk mencari luas permukaan, menggunakan rumus:

L = ( x r x s) + ( x r x r)

L = (22/7 x 7 x 12) + (22/7 x 7 x 7)

L = 264 + 154

L = 418 cm2

Maka, luas permukaan dari kerucut tersebut yaitu 418 cm2, sedangkan volumenya adalah 462 cm3.

Contoh Soal Limas Segitiga

Jika diketahui suatu limas segitiga memiliki tinggi 7 cm, tinggi segitiga alas 6 cm, dan alas segitiga 13 cm. Berapa volume dari limas tersebut?

Jawaban: V = 91 cm3

Pembahasan:

V = ⅓ x La x t

V = ⅓ x (½ x as x ts) x t

V = ⅓ x (½ x 13 x 6) x 7

V = ⅓ x 39 x 7

V =  91 cm3

Maka, volume dari limas segitiga tersebut adalah 91 cm3.

Contoh Soal Limas Segi Empat 

Sebuah limas persegi empat memiliki panjang alas 6 cm dan tinggi sisi tegak segitiganya 4 cm. Berapakah luas dan volumenya?

Jawaban: Luas permukaan = 96 cm2 dan Volume =  48 cm3.

Pembahasan:

Mencari luas permukaan limas segi empat menggunakan rumus L = La + L△ I + L△ II + L△ III + L△ IV

Karena alasnya adalah persegi empat, maka luas alasnya (La) adalah:

La = s x s

La = 6 cm x 6 cm

La = 36 cm2

Sedangkan untuk L△ dapat dihitung menggunakan rumus phytagoras:

c2 = a2 + b2

c2 = 42 + 32

c2 = 16 + 9

c2 = 25

c2 = 5 cm

Maka L△ dapat dihitung dengan:

L△I = ½ x a △ 1 x t △ 1

L△I = ½ x 6 x 5 = 15 cm2

Sehingga, luas permukaan limas segi empat menjadi:

L = La + L△ I + L△ II + L△ III + L△ IV

L = 36 cm2 + 15 cm2 + 15 cm2 + 15 cm2 + 15 cm2

L = 96 cm2

Maka, luas permukaan limas segi empat adalah 96 cm2.

Sedangkan untuk mencari volume limas segi empat menggunakan rumus:

V = ⅓ x L alas x t

V = ⅓ x (s x s) x t

V = ⅓ x (6 x 6) x 4

V = 48 cm3

Jadi, volume limas segi empat adalah 48 cm3.

Baca Juga : Mengenal Bangun Ruang: Macam, Sifat, Rumus, dan Pembahasan Soal

Sudah Paham Rumus Bangun Ruang?

Itulah rumus bangun ruang pada bangun kubus, kerucut, dan limas. Masing-masing bangun ruang memiliki rumus berbeda untuk menghitung volume dan luas permukaannya. Cobalah untuk sering mengerjakan latihan soal untuk mengasah pemahamanmu tentang bangun ruang. Semoga berhasil!